淮安市2014—2015学年度高三年级信息卷

数 学 试 题 2015．5

数学Ⅰ 必做题部分

（本部分满分160分，时间120分钟）

参考公式：锥体的体积公式：
，其中
是锥体的底面面积，
是高．

一、填空题：本题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡上．

1．已知集合
，集合
，若
，则
的值是 ▲ ．

2．若复数
是实数（
为虚数单位），则实数
的值是 ▲ ．

3．交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员36人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，42，则这四个社区驾驶员的总人数N为 ▲ ．

4．若抛物线
的焦点与双曲线
的右焦点重

合，则双曲线的离心率为 ▲ ．

5．如右图所示的流程图的运行结果是 ▲ ．

6．某校有
两个学生食堂，若
三名学生各自随机选择其

中的一个食堂用餐，则三人不在同一个食堂用餐的概率为 ▲ ．

7．在
中，若
，则
的面积为 ▲ ．

8．已知正四棱锥的底面边长是
，侧棱长为5，则该正四棱锥的体积为 ▲ .

9．已知
，且
，则
的值为 ▲ ．

10．已知函数
，若对任意
，均满足
，则实数m的取值范围是 ▲ ．

11．已知
．若直线
上总存在点
，使得过点
的
的两条切线互相垂直，则实数
的最小值为__▲__．

12．已知
均为等比数列，其前
项和分别为
，若对任意的
，总有
，

则
▲ ．

13．已知正△
的边长为1，点
为边
的中点，点
是线段
上的动点，
中点为
．若
，

，则
的取值范围为 ▲ ．

14．已知二次函数
在区间
上至少有一个零点，则
的最小值为 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）

函数
的部分图象如图所示．

（1）求出
及图中
的值；

（2）求
在区间
上的最大值和最小值．

16．（本题满分14分）

如图，边长为2的正方形
是圆柱的中截面，点
为线段
的中点，点
为圆柱的下底面圆周上异于
，
的一个动点．

（1）在圆柱的下底面上确定一定点
，使得
平面
；

（2）求证：平面
平面
．

17．（本小题满分14分）

如图，有一景区的平面图是一半圆形，其中AB长为2km，C、D两点在半圆弧上，满足BC=CD．设
．

（1）现要在景区内铺设一条观光道路，由线段AB、BC、CD和DA组成，则当θ为何值时，观光道路的总长l最长，并求l的最大值．

（2）若要在景区内种植鲜花，其中在
和
内种满鲜花，

在扇形
内种一半面积的鲜花，则当θ为何值时，鲜花种植面积S最大．

18．（本小题满分16分）

.如图，在平面直角坐标系
中，椭圆
的左，右顶点分别为
，若直线
上有且仅有一个点
，使得
．

⑴ 求椭圆
的标准方程；

⑵ 设圆
的圆心
在x轴上方，且圆
经过椭圆
两焦点．点
，
分别为椭圆
和圆
上的一动点．若
时,
取得最大值为
，求实数
的值．

19．（本小题满分16分）

已知函数
满足
，且当
时，
，当
时，
的最大值为
．

（1）求实数a的值；

（2）设
，函数
，
．若对任意
，总存在
，使
，求实数b的取值范围．

20．（本小题满分16分）

在数列
，
中，已知
，
，且
，
，
成等差数列，
，
，
也成等差数列．

（1）求证：
是等比数列；

（2）设
是不超过100的正整数，求使
成立的所有数对
．

淮安市2014—2015学年度高三年级信息卷

数 学 试 题 2015.5

数学Ⅱ 附加题部分

注意事项

本试卷共2页，均为非选择题（第21题～第23题，共4题）。本卷满分为40分，考试时间为30分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。

21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．(选修4—1：几何证明选讲（本小题满分10分）

如图，已知
是⊙
的直径，
是⊙
的弦，
的

平分线
交⊙
于
，过点
作
交
的延长线

于点
，
交
于点
．若
，求
的值．

B．选修4—2：矩阵与变换（本小题满分10分）

已知矩阵A＝
，若矩阵A属于特征值－1的一个特征向量为α1＝
，属于特征值4的一个特征向量为α2＝
．求矩阵A，并写出A的逆矩阵A－1．

C．选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）

已知直线l：
（t为参数）恒经过椭圆C：
（?为参数）的右焦点F．

（1）求m的值；

（2）设直线l与椭圆C交于A，B两点，求
的最大值与最小值．

D．选修4—5：不等式选讲（本小题满分10分）

已知x，y，z均为正数．求证：
．

【必做题】第22题，第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22．（本小题满分10分）

如图，已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M、N分别是CC1、BC的中点，点P在直线A1B1上，且满足
（
R）．

（1）证明：PN⊥AM；

（2）若平面PMN与平面ABC所成的角为45°，试确定点P的位置．

23．在自然数列
中，任取
个元素位置保持不动，将其余
个元素变动位置，得到不同的新数列．由此产生的不同新数列的个数记为
．

⑴ 求
；

⑵ 求
；

⑶ 证明
，并求出
的值．

淮安市2014—2015学年度高三年级第一次调研测试

数学试题参考答案与评分标准

数学Ⅰ部分

一、填空题：

1．5 2．1 3．300 4．2 5．20 6．
7．
8．24

9．
10．
11．1 12．9 13．
14．

二、解答题：

15．（1）由图可知，当
，即
，………………2分

又
，
，所以

．

．…………………………………………………6分

（2）由（1）可知：
．因为
，所以
．

所以 当
，即
时，
取得最大值
；

当
，即
时，
取得最小值0． …………………………………14分

16．（1）点
为线段
的中点，又点
为线段
的中点，

故
，…………………………………………2分

又
平面
，
平面
，

所以
平面
．………………………………6分

（2）因为正方形
是圆柱的中截面，所以
底面
，

而
底面
，故

，…………………8分

因为点
为圆柱的下底面圆周上异于
，
的一个动点， 所以

，………10分

又
，且
平面
，所以
平面
，…………………12分

又
平面
，所以，平面
平面
．…………………………………14分

17．（1）由题
，
，

取BC中点M，连结OM．则
，
．

所以
．

同理可得
，
．

所以
．………………………4分

即
．所以当
，即
时，有
．……6分

（2）
，
，
．

所以
． …………………………………………………………8分

所以
………………………10分

因为
，随意解
得
，列表得











＋

0

－





递增

极大值

递减



所以当
时，有面积
取得最大值．

答：（1）当
时，观光道路的总长l最长，最长为5km；

（2）当
时，鲜花种植面积S最大． …………………………………………14分

18．⑴ 因为椭圆
左，右顶点分别为
，

所以
． ………………………………………………………………………………1分

又因为直线
上恰存在一个点
，使得
，

即以原点O为圆心，半径为
作圆O，使得圆O与直线
相切即可．

又圆心O到直线
的距离
， …………………3分

所以
，
，………………………………………………………………5分

所以椭圆
的标准方程为
； …………………………………………………6分

⑵设
，因为点
在椭圆上，所以有
,……………………………………7分

因为圆
的圆心
在x轴上方，且圆
经过椭圆