2015届高三年级数学第十次月考试卷（文科）

一、选择题（每小题5分，共60分）

1.设复数
（
为虚数单位），
的共轭复数为
，则
( )　

A．
B．2 C．
D．1

2．设A＝{1,4,2x}，B＝{1，x2}，若B?A，则x＝( )　

A．0 B．－2 C．0或－2 D．0或±2

3．气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22 (0C)”.现有甲、乙、丙,三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）：

① 甲地：5个数据的中位数为
，众数为
；

② 乙地：5个数据的中位数为
，总体均值为
；

③ 丙地：5个数据中有一个数据是
，总体均值为
，总体方差为
；则肯定进入夏季的地区有( )　

A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个

4．已知函数
，则下列结论正确的是( )　

A.
是奇函数 B.
在
上递增

C.
是周期函数 D.
的值域为

5．
的外接圆圆心为
,半径为2，
,且
,
方向上的投影为( )　

A．
B．
C．
D．

6.函数
(
R,
)的最小正周期为
，为了得到
的图象，只需将函数
的图象( )　

（A）向左平移
个单位长度 （B）向右平移
个单位长度

（C）向左平移
个单位长度 （D）向右平移
个单位长度

7. 有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是
，

已知
，
，
则这四个小球由重到

轻的排列顺序是( )　

A.
B.

C.
D.

8．执行如图所示的程序框图后，输出的值为5，则P的取值范围是( )　

A．
B．
C．
D．

9.已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是( )　

A.
B.100

C.92
D.84

10．已知
，
是双曲线
的左，右

焦点，若双曲线左支上存在一点
与点
关于直线

对称，则该双曲线的离心率为( )　

A．
B．
C．
D．

11．已知函数f（x）＝
若方程f（x）－kx＝1有两个不同实根，则实数k的取值范围为( )　

A．（
，e） B．（
，1）∪（1，e－1]

C．（
，1）∪（1，e） D．（
，e－1]

12．设点
是曲线
上任意一点，其坐标
均满足
，则
取值范围为( )　

A.
B.
C.
D.

二、填空题（每小题5分，共20分）

13.已知f（x）=
,若f（m ）=
, 则f（-m ）=

14．过点0（0，0）作直线与圆C:（x－2）2 +（y－2）2 =9相交，在弦长均为整数的所有直线中，等可能地任取一条直线，则弦长不超过5的概率为____．

15. 已知三棱锥
的所有顶点都在球
的球面上，
⊥平面
，
，则球
的表面积为　　　　.

16．已知G点为△ABC的重心，且
，若
，则实数
的值为

三、解答题（70分）

17．（12 分）已知等差数列{an }中,a2+a6=6, Sn为其前n 项和,S5=
。

（1）求数列{an }的通项公式;

（2）令bn =
若Sn

18．某次的一次学科测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图．

（Ⅰ）求参加测试的总人数及分数在[80，90）之间的人数；

（Ⅱ）若要从分数在[80，100）之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，恰有一份分数在[90，100）之间的概率．

19. （12分）如图所示，已知AC ⊥平面CDE, BD ∥AC ,
为等边三角形，F为ED边上的中点,且CD=BD=2AC=2；

（1）求证：CF∥面ABE；

（2）求证：面ABE ⊥平面BDE；

（3）求该几何体ABECD的体积。

20．（12分）已知中心在原点的椭圆Γ1和抛物线Γ2有相同的焦点（1，0），椭圆Γ1的离心率为
，抛物线Γ2的顶点为原点．

（Ⅰ） 求椭圆Γ1和抛物线Γ2的方程；

（Ⅱ） 设点P为抛物线Γ2准线上的任意一点，过点P作抛物线Γ2的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．

（ⅰ）设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值；

（ⅱ）若直线AB交椭圆Γ1于C，D两点，S△PAB，S△PCD分别是△PAB，△PCD的面积，试问：
是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，请说明理由．

21.（12分）设函数
,区间
是函数
减少的区间，区间
的长度定义为
，记为
．

（1）若
时，求实数
的取值范围；

（2）若
，求
区间
上的最大值．（参考数据：
）

23．（本小题满分10分）(选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系
中，已知曲线
的参数方程为
．以直角坐标系原点
为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线
的极坐标方程为
．

（1）求直线
的直角坐标方程；

（2）点
为曲线
上的动点，求点
到直线
距离的最大值．

24．已知
,

（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）求
的取值范围．

2015届高三年级数学第十次月考试卷（文科）答题卡

一、选择题（每小题5分共60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案



























二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）

13、 14、 15、 16、

三.解答题（共6个小题，共70分）

17、（12分）

18、（12分）

19、（12分）

20、（12分）

21、（12分）

（选考题）

23□ 24□（10分）

2015届高三年级数学第十次月考（文科）答案

ACCCC CAABA BD 13、-
14、
15、
16、

18、（Ⅰ）成绩在[50，60）内的频数为2，由频率分布直方图可以看出，成绩在[90，100]内同样有2人． 由
，解得n=25．成绩在[80，90）之间的人数为25﹣（2+7+10+2）=4人

∴参加测试人数n=25，分数在[80，90）的人数为4人

（Ⅱ）设“在[80，100]内的学生中任选两人，恰有一人分数在[90，100]内”为事件M，

将[80，90）内的4人编号为a，b，c，d；[90，100]内的2人编号为A，B

在[80，100]内的任取两人的基本事件为：ab，ac，ad，aA，aB，bc，bd，bA，bB，cd，cA，cB，dA，dB，AB共15个．其中，恰有一人成绩在[90，100]内的基本事件有

aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB共8个．

∴所求的概率得
。

19. 解：（1）证明：取BE的中点G，连FG∥
,AC∥
,故CF∥AG
CF∥面ABE (4分)

（2）证明：△ECD为等边三角形
CF⊥ED又CF⊥BD
CF⊥面BDE

CF∥AG

故AG⊥面BDE
面ABE ⊥平面BDE （8分）

（3）几何体ABECD是四棱锥E-ABCD,EH⊥CD
EH⊥面ABCD

（12分）

20、（I）解：设椭圆Γ1和抛物线Γ2的方程分别为
（p＞0）

由题意得，
，即
，p=2，

∴椭圆Γ1的方程为
，抛物线Γ2的方程为y2=4x．

（II）（ⅰ）证明：设P（﹣1，t），过点P与抛物线y2=4x相切的直线方程为y﹣t=k（x+1），

由
消去x得
，

由△=0得
，即k2+tk﹣1=0，则k1k2=﹣1．

（ⅱ）法一：设A（x1，y1）B（x1，y2），

由（ⅰ）得
，
，则
，
，

直线AB的方程为
，即
，

即直线AB过定点（1，0）．

法二：以A为切点的切线方程为
，即
，即y1y=2（x+x1），

同理以B为切点的切线方程为y2y=2（x+x2），

∵两条切线均过点P（﹣1，t），

∴
，

则切点弦AB的方程为ty=2（x﹣1），即直线AB过定点（1，0）

设P到直线AB的距离为d，
=
．

①当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=k（x﹣1），

设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），

由
消去y得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，k≠0时△＞0恒成立．

．

由
消去y得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，△＞0恒成立．

，

∴
=
．

②当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x=1，

此时，|AB|=4，|CD|=3，
=
，

∴
的最小值为
．

21、（1）

①当
时，有
令
得
,即
在
上是减少的，所以
．

②当
时，令
得
，即
在
上是减少的，所以，
．

③当
时，
总成立，
在
上增加的，

所以使
的减少的区间不存在．

④当
时，令
得
,即
在（
）上是减少的，

所以
.显然当
时
．

综上，
时，实数
的取值范围为
．………………6分

（2）
,只能
，得

因为
在
上是减少的，有

所以
.且
．

①当
时，有

注意到，函数
的导数
，有
在
上是减函数，

于是
．

令
有
，
在
上是增加的．

于是
，所以
，

所以
．

②当
时，有
在
上是增加的，所以

所以
．

③当
时，
在
上是减少的，所以

所以
．

综上
在区间
上的最大值为
．………………13分

23．解：（Ⅰ）
化简为
，

∴直线
的直角坐标方程为
； ……………………4分

（Ⅱ）设点
的坐标为
，

得
到直线
的距离
， ………………………………………6分

即
，其中
．

当
时，
． …………………………………………10分.

24． （I）∵a2+b2≥2ab,

c2+d2≥2cd

∴a2+b2+c2+d2≥2(ab+cd), 当且仅当a=b=c=d=时取“=” …………2分

又∵a2+b2=1, c2+d2=1

∴2(ab+cd)≤2 …………4分

∴ab+cd≤1 …………5分

（II）设=(a,b),=(1,),

∵|?|≤||?||, …………8分

∴|a+b|≤2=2 ∴-2≤a+b≤2

∴a+b的取值范围为-2，2 …………10分

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