2014-2015学年度上学期八校联考测试卷

高三数学（理科）

命题人：新建二中 肖英文 上饶中学 黎金传

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.全卷满分150分.考试时间120分钟.

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

考生注意：

1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.

2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上作答.若在试题卷上作答，答案无效.

3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回.

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 对于集合
和集合
，若满足
，则集合
中的运算“
”可以是（ ）

A．加法 B．减法 C．乘法 D．除法

2. 复数
为纯虚数，若
(
为虚数单位)，则实数
的值为（ ）

A．
　 B．2　　　 C．
　　 　 D．

3. 下列关于命题的说法错误的是（ ）

A．命题“若
，则
”的逆否命题为“若
，则
”；

B．“
”是“函数
在区间
上为增函数”的充分不必要条件；

C．若命题
：
，则
：
；

D．命题“
”是真命题．

4. 数列
中，已知
，则
（ ）

A．
　 B．
　　　 C．
　　 　D．

5．已知函数
，则要得到函数
的的图像只需将函数
的图像（ ） A. 向左平移
个单位长度 B. 向右平移
个单位长度

C. 向左平移
个单位长度 D. 向右平移
个单位长度

6. 已知不等式组
的解集记为
,则对
使得
取最大值时的最优解是（ ） A.
B.
C. 3 D. 4

7. 从
六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位奇数，这样的三位数共有（ ） A.
个 B.
个 C.
个 D.
个

8. 执行如图所示的程序框图，若输出的值为105，则输入的
值可能为（ ）

A. 5 B. 6 C. 7 D.8

9．已知
则
（ ）

A.
B.
C.
D.

10. 设
、
分别为双曲线
的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点
，满足
，且
到直线
的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A.
B．
C．
D．

11．某四面体的三视图如右图所示，且四个顶点都在一个球面上，

则球的表面积为（ ）

A．
B．

C．
D．

12．已知函数
，则关于
的方程
的根的个数不可能为（ ） A．6 B． 5 C． 4 D． 3

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡相应的位置上)

13.
的展开式中，
的系数为15，则
________.(用数字填写答案)

14．在平面直角坐标系中，
分别是与
轴正方向同向的单位向量，平面内三点
满足，
，
.若
三点构成以
为直角的直角三角形，则实数
的值为 ．

15. 观察下列等式

照此规律，第
个等式为 .

16. 在△
中，设
为
边上的高，且
分别表示角
所对的边长，则
的最大值是________.

三、解答题(本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17. (本小题满分12分) 已知等比数列
的公比
，前
项和为
，
，且
，
，
成等差数列，数列
满足关系式
其中
,且
．

(1)求数列
及
的通项公式；

(2)设
，
，
，求集合
中所有元素之和．

18.(本小题满分12分) 为选拔选手参加“中国汉字听写大会”，某中学举行了一次“汉字听写大赛”活动.为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为
）进行统计.按照
，
，
，
，
的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在
，
的数据）．

（1）求样本容量
和频率分布直方图中的
、
的值；

（2）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取4名学生参加“中国汉字听写大会”，设随机变量
表示所抽取的4名学生中得分在
内的学生人数，求随机变量
的分布列及数学期望．

19.(本小题满分12分) 如图，在四棱锥
中，
底面
，底面
是直角梯形，
，
，
，
,
是
的中点.

（1）求证：平面
平面
；

（2）若直线
与平面
所成角的正弦值为
，求

平面
与平面
夹角的余弦值.

20.(本小题满分12分) 如图，在平面直角坐标系
中，椭圆
的离心率为
，过椭圆右焦点
作两条互相垂直的弦
与
．当直线

斜率为
时，
．

（1）求椭圆的方程；

（2）求由
四点构成的四边形的面积的取值范围．

21.(本小题满分12分) 已知函数
，
，
是常数．

（1）求函数
的图象在点
处的切线方程；

（2）若函数
图象上的点都在第一象限，试求常数
的取值范围；

（3）证明：
，存在
，使
．

请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.

22.(本小题满分10分)如图，在
中，
是
的角平分线，
的外接圆交
于点
，
．

（1）求证：
；

（2）当
，
时，求
的长．

23. (本小题满分10分) 以
轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知射线
与曲线
(
为参数)相交于
两点.

(1)写出射线
的直角坐标方程和曲线
的普通方程；

（2）求线段
的中点的极坐标.

24. (本小题满分10分) 设关于
的不等式
的解集为
,且
.

(1)对任意的
，
恒成立，且
，求
的值.

（2）若
，
，求
的最小值，并指出取得最小值时
的值.

2014—2015学年度上学期八校联考测试卷参考答案及评分标准

高三数学（理科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

D

D

C

C

A

B

D

B

A

D

D





二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡相应的位置上．

13．
14．

15．
16．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17.（本小题满分12分）解：（1）因为
,所以
………………①

因为
，
，
成等差数列，所以
………………②

②-①得
即
………………③，又由①得
………………④

消去
得
，解得
或
（舍去）所以
.……………………4分

另由于
满足关系式
即

所以由累乘法得
，而
，所以
当
时也满足，

故
……………………8分

（2）等比数列
前
项和为
，则
……………………9分

等差数列
前
项和为
，则
……………………10分

因为
与
的公共元素有1,4,16,64,128，其和为213，所以集合
中所有元素之和为
. ……………………12分

18.（本小题满分12分）解：（1）由题意可知，样本容量
，
，

.………………………………4分

（2）由题意可知，分数在
内的学生有5人，分数在
内的学生有2人，共7人.抽取的4名学生中得分在
的人数
的可能取值为2，3， 4，则

，
，
.

2

3

4













所以
的分布列为

…………………………………………………………………………………………10分

所以
.……………………………