江西省重点中学协作体2015届高三第二次联考

数学试卷（理）

命题人：抚州一中 万曲 孙明宇 九江一中 梅宋军

第I卷

一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合
，
，若
，则
( )

A.
B.
C.
D.

2.设
是虚数单位，则
( )

A.
B.
C.
D.

3.已知等比数列
的各项都是正数，且
成等差数列，则
( )

A.
B.
C.
D.

4.给出下列结论：①命题“
”的否定是“
”；

②命题“
”是“
”的充分不必要条件；

③数列
满足“
”是“数列
为等比数列”的充分必要条件.

其中正确的是( )

A.①② B.①③ C.②③ D.①②③

5.已知函数
，数列
是公差为
的等差数列，若
，
，则
的通项公式为( )

A.
B.
C.
D.

6.若实数
满足
，则
的最小值为（ ）

A.
B.
C.
D.

7.已知直角
中，斜边
，
为线段
的中点，
为线段
上任意一点，则
的最小值为( )

A.
B.
C.
D.

8.甲、乙、丙三人投掷飞镖，他们的成绩(环数)如下面的频数条形统计图所示，则甲、乙、丙三人训练成绩的方差
、
、
的大小关系是( )

A.
B.

C
D.

9.如图所示程序框图,则满足
的输出的有序实数对
的概率为( )

A.
B.
C.
D.

10.已知圆
，点
，动点
在圆上运动，
为坐标原点，则
的最大值为( )

A.
B.
C.
D.

11.已知点
，曲线
恒过定点
，
为曲线
上的动点且
的最小值为
，则
( )

A.
B.-1 C.2 D.1

12.已知圆
及圆

，动圆
与两圆都相切.动圆的圆心
的轨迹是两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为

，则
的最小值为( )

A．
B.
C.
D.

二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．

13.多项式
的展开式中常数项是 ．

14.已知数列
满足

，若
，则
.

15.已知某几何体的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为 ．

16.若集合
，且下列四个关系：①
；②
；③
；④
有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组
的个数是 ．

第II卷

三、解答题：本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤．

17．（本小题满分12分）已知函数
.

(1)求
的单调递增区间；

(2)角
为
的三个内角，且
，求
的值.

18．（本小题满分12分）如图，在三棱锥
中，平面
平面
，且
，
.

(1)求三棱锥
的体积
；

(2)求直线
与平面
所成角的正弦值.

19. （本小题满分12分）4月15日，亚投行意向创始成员国已经截止，意向创始成员国敲定57个，其中，亚洲国家34个，欧洲国家18个，非洲和大洋洲各2个；南美洲1个．18个欧洲国家中G8国家有5个（英法德意俄）.亚投行将设立理事会、董事会和管理层三层管理架构.假设理事会由9人组成,其中3人由欧洲国家等可能产生．

(1)这3人中恰有2人来自于G8国家的概率；

(2)设X表示这3人来自于G8国家的人数，求X的分布列和期望．

20.（本小题满分12分）已知点
，圆
：
，点
是圆
上任意一点，线段
的垂直平分线和半径
相交于
．

(1)求动点
的轨迹方程；

(2)若直线
与圆
:
相切，并与(1)中轨迹交于不同的两点
．当
，且满足
时，求
面积
的取值范围．

21．（本小题满分12分）已知函数
（
为实常数）.

(1)若函数
在
的切线与
轴平行，求
的值；

(2)若
有两个零点
，求证：
.

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做第一题记分.在答题卡选答区域指定位置答题，并写上所做题的题号.注意所做题目的题号必须和所写的题号一致.

22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图，已知
与圆
相切于点
，半径
，
交
于点
.

(1)求证：
；

(2)若圆
的半径为
，
，求线段
的长度．

23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，直线
的参数方程为
.在极坐标系（与直角坐标系
取相同的长度单位，且以原点
为极点，以
轴正半轴为极轴）中，圆
的方程为
．

(1)求圆
的直角坐标方程；

(2)设圆
与直线
交于点
，若点
的坐标为
，求
．

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数

(1)求不等式
的解集；

(2)若关于
的不等式
的解集非空，求实数
的取值范围．

江西省重点中学协作体2015届高三第二次联考

数学（理）答案

一、选择题：1-5: C D DAB 6-10：BACDC 11-12: DA

二、填空题：13．
14．
15.
16. 6

三、解答题：

17.解：由题意可得

（1）

所以增区间为：

.………………………………………6分

（2）由
得
；………………………………………7分

得
；………………………………………8分

由于
则
……………………………10分

所以
.……………………………………………………12分

18.解：（1）取
中点
，连结
，

，
，

，

又
平面
平面
，

………2分，

，

，

即
，得
，则
，
，………4分

.

.……………………6分

（2）方法一 ：分别以
为
轴，建立空间直角坐标系.

得
，………8分

，
，设平面
的法向量
.

由
得方程组
，取
，得
.10分

，

.

故直线
与平面
所成角的正弦值为
.……………………12分

方法二 ：设点
到平面
的距离为
，作
，

则
，

直线
与平面
所成角的正弦值为
.

19.解：(1)
…………………………5分

(2)
可能的取值为
、
、
、























 ………10分

……………………………………………………12分

20.解：(1)连接
，∵|QE|＋|QF|=|QE|＋|QP|=|PE|=

|EF|=
，

∴动点
的轨迹是以
、
为焦点，长轴长
的椭圆，

即动点Q的轨迹方程为:
；…………………4分

(2)依题结合图形知直线
的斜率不为零，所以设直线
的方程为
(
)．

∵直线
即
与圆O:
相切，∴
得
．(5分)

又∵点
的坐标
满足：
，

消去
整理得
，

由韦达定理得
，
．…………………6分

又

，点
到直线
的距离
，

∴

………8分

∵

．

∵
，令
，则

∴
，…………………10分

∵
∴
，∴
的取值范围为：
.…………………12分

21.解：(1)
，由