2015年马鞍山市高中毕业班第二次教学质量检测

一、选择题：

（1）【答案】A

（2）【答案】A

（3）【答案】B

（4）【答案】B

（5）【答案】D

（6）【答案】B

（7）【答案】C

（8）【答案】D

（9）【答案】B

（10）【答案】C

第II卷（非选择题，共100分）

二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．请在答题卡上答题．

（11）【答案】

（12）【答案】
，由条件知
，

（13）【答案】
，
．

（14）【答案】

（15）【答案】①③④

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

（16）【解】（Ⅰ）设ΔABC中，角A、B、C的对边分别为 a、b、c，

则由已知：
，
，………………………………………4分

可得，
………………………………………………………………………6分

（Ⅱ）

……10分

由（Ⅰ），
，∴
，∴

即
，
…………………………………………………12分

（17）（本小题满分12分）

【解】（Ⅰ）由题可知，

第2组的频数为
（人）…1分

第3组的频率为
……………2分

频率分布直方图如右: ……………5分

（Ⅱ）因为第2、5组共有35名学生，所以利用分层抽样在35名学生中抽取7名学生，每组分别为:

第3组:
(人) …………………6分

第5组:
(人) …………………7分

所以第2、5组分别抽取3人、4人．

（Ⅲ）设第2组的3位同学为
，第5组的4位同学为
，

则从7位同学中抽2位同学有21种可能情况：

……………………………10分

其中第5组的4位同学
中至少有一位同学入选的有18种，故至少有1名学生来自第5组的概率为：
…………………12分

（18）【解】（Ⅰ）证明：连AC，BD，设AC，BD交于点O，连OH，OG．

∵四边形
为正方形，∴
，

又∵
分别是
的中点，

∴
………………………4分

∴平面
∥平面
，∵
平面

∴证明
∥平面
……………………6分

（Ⅱ）∵
正方形
，∴
，

又
，所以
平面

所以

．

（19）【解】（Ⅰ）
（
）………………………3分

又
时，
，符合上式 ……………………………………………4分

故
……………………………………………………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知:

………………8分

设

当为偶数时，
，

此时
………………………………………………………11分

当为奇数时，

，

此时
…………………………………13分

（20）【解】
，…………………………………………………2分

（Ⅰ）（1）若
，对
均有
，

故
为其定义域上的单调递增函数；…………………………………………3分

（2）若
，当
时，
；

当
时，
；

故
在
内单调递增，在
内单调递减．…………………………4分

（Ⅱ）由
，
，即存在
使
，

从而只需存在
，使
，

其等价于
时，
．………………………………………………7分

由（Ⅰ）知：

①当
，即
时，
在
上单调递增，

由
，解得
，

故
；……………………………………………………………………9分

②当
，即
时，
在
上单调递增，在
上单调递减；

由
，解得
，

故
；……………………………………………………………………11分

③当
，即
时，
在
上单调递减，

故
，
，舍去． ……………………………………12分

综上，
．………………………………………………………………13分

（21）【解】（Ⅰ）∵
，又

∴
，

∴椭圆的标准方程为
；……………………………………………5分

（Ⅱ）设
，
，显然直线
的斜率存在，

设直线
方程
，联立方程组
，

消去得：
，

∴
，
，…………………………………………7分

∴
，

；………………………………9分

∴
……………10分

；

∴
（舍），或
；………………………………………………12分

即直线
经过定点
．………………………………………………13分