2．程序框图如下图所示，当
时，输出的
的值为 （ ）

A．20 B．22 C．24 D．25



3．已知条件p：
﹣2ax+
﹣1＞0，条件q：x＞2，且q是p的充分而不必要条件，则a的取值范围是 （ ）

A．a≥1 B． a≤1 C． a≥﹣3 D． a≤﹣3

4．已知
都是区间
内任取的一个实数，则使得
的取值的概率是 （ ）

A．
B．
C．
D．

5．设偶函数
对任意
都有
，且当
时，
，则
（ ）

A．10 B．
C．
D．

6．将5名同学分到甲、乙、丙三个小组，若甲组至少两人，乙、丙两组每组至少一人，则不同的分配方案共有 种 （ ）

A．80种 B．120种 C．140种 D．50种

7．在
中,角
所对的边分别是
,若
,则
的最小角的正弦值等于 （ ）

A．
B．
C．
D．

8．抛物线
的焦点为，点
在抛物线上，且
，弦
中点
在其准线上的射影为
，则
的最大值为 （ ）

A．
B．
C．
D．

9．已知函数
，函数
若存在
，使得
成立，则实数的取值范围是 （ ）

A．
B．
C．
D．

10．已知双曲线
上一点
，过双曲线中心的直线交双曲线于
两点，记直线
的斜率分别为
，当
最小时，双曲线离心率为 （ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．设
，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为 ．

12．已知变量x，y满足约束条件
，若
恒成立，则实数的取值范围为 ．

13．△
中，点
在线段
上，点在线段
上，且满足
,若
，则
的值为 ．

14．函数
，若函数
的零点有2个，则
的取值范围 ．

15．义在R上的函数
是增函数，且对任意的恒有
，若实数
满足不等式组
，则
的范围为 ．

三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分12分）

已知向量
,函数
．

（Ⅰ）求函数
的最小正周期;

（Ⅱ）已知
分别为
内角A，B，C的对边, 其中Ａ为锐角,
,且
,求Ａ，
和
的面积Ｓ．

17．（本小题满分12分）

某校团委会组织该校高中一年级某班以小组为单位利用周末时间进行了一次社会实践活动，且每个小组有5名同学，在实践活动结束后，学校团委会对该班的所有同学都进行了测评，该班的A、B两个小组所有同学所得分数（百分制）的茎叶图如图所示，其中B组一同学的分数已被污损，但知道B组学生的平均分比A组学生的平均分高1分．

（Ⅰ）若在A，B两组学生中各随机选1人，求其得分均超过86分的概率；

（Ⅱ）若校团委会在该班A，B两组学生得分超过80分的同学中随机挑选3人参加下一轮的参观学习活动，设B组中得分超过85分的同学被选中的个数为随机变量
，求
的分布列和数学期望．

18．（本小题满分12分）

如图，三棱锥
中，
，
为
的中点，
，为
上一点，
为
上一点，且
．

（Ⅰ）求证：
∥平面
；

（Ⅱ）求证：
⊥平面
；

（Ⅲ）求
与平面
所成角的正弦值。

19．（本小题满分12分）

数列
的前项和为
，数列
是首项为
，公差为
的等差数列，且
成等比数列．

（Ⅰ）求数列
与
的通项公式；

（Ⅱ）设
，求证：数列
的前项和

．

20．（本小题满分13分）

已知椭圆C：
（
．

（Ⅰ）若椭圆的长轴长为4，离心率为
，求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设过定点
的直线
与椭圆C交于不同的两点
，且
为锐角（其中
为坐标原点），求直线
的斜率k的取值范围;

（Ⅲ）如图，过原点
任意作两条互相垂直的直线与椭圆
（
）相交于
四点，设原点
到四边形
一边的距离为
，试求
时
满足的条件

21．（本小题满分14分）

已知函数g（x）＝
，f（x）＝g（x）－ax．

（Ⅰ）求函数g（x）的单调区间;

（Ⅱ）若函数f（x）在区间（1，＋∞）上是减函数，求实数a的最小值；

（Ⅲ）若存在
，
∈[e，
]，（e＝2．71828……是自然对数的底数）使f（
）≤
+a，求实数a的取值范围．



7、C 解析：由
得

,

因为
不共线，所以
，所以角A最小，又cosA=

，所以sinA=
，故选C．

8、A解析：设
，则x+y=2m，由余弦定理
，则
，所以选C．

9、B解析：因为当
时，
，所以此时函数单调递增，其值域为
，当x
时，值域为
，所以函数f（x）在其定义域上的值域为[0,1]，又函数g（x）在区间[0,1]上的值域为[﹣2a+2, ﹣
+2]，若存在
，使得
成立，则
解得
，所以选B ．

10、B 设A（x1，y1），C（x2，y2），

由题意知点A，B为过原点的直线与双曲线
的交点，

∴由双曲线的对称性得A，B关于原点对称，

∴B（-x1，-y1），k1=
，k2=
，

∴k1k2=
=
，∵点A，C都在双曲线上，

∴
，
，两式相减，得：
=0，

∴k1k2=
＞0，∴
+ln|k1|+ln|k2|=
+ln（k1k2），

对于函数y=
+lnx，（x＞0），由y′=-
+
=0，得x=0（舍）或x=2，

x＞2时，y′=-
+
＞0，

0＜x＜2时，y′=-
+
＜0，∴当x=2时，函数y=
+lnx（x＞0）取得最小值，

∴当
+ln|k1|+ln|k2|最小时，k1k2=
=2，∴e=
=
．故选：B．

11、
，解析：
，解
，解得
；由
，得
，得
，由于是的充分不必要条件，
，解得
，又由于
，
，故答案为

12、
，解析：易知
，不等式表示的平面区域如图所示，

设
，平面区域内动点
，则
，

当是
与
交点时，
的斜率最大，为

当是
与
交点时，
的斜率最小，为
，

由
且
得
，又
，所以

13、
解析：
,
，

．

14、1＜k≤2， 解析：解：令g（x）=f（x）-kx+k=0，

∴f（x）=k（x-1），令h（x）=k（x-1），

画出函数f（x），g（x）的图象，

如图示：直线y=k（x-1）经过定点（1，0），斜率为k．

当 0＜x＜1时，
当x≥1时，
∴1＜k≤2，

15、[13，45]，解析： ∵f（x）=-f（2-x），∴-f（x）=f（2-x），

∴f（a2-6a+23）+f（b2-8b）≤0可化为f（a2-6a+23）≤-f（b2-8b）=f（2-b2+8b），

又∵f（x）在R上单调递增，∴a2-6a+23≤2-b2+8b，

即a2-6a+23+b2-8b-2≤0，配方可得（a-3）2+（b-4）2≤4，

∴原不等式组可化为
，

如图，点（a，b）所对应的区域为以（3，4）为圆心，2为半径的右半圆（含边界），

易知a2+b2表示点（a，b）到点（0，0）的距离的平方，

由图易知：|OA|2≤a2+b2≤|OB|2，可得点A（3，2），B（3，6）

∴|OA|2=32+22=13，|OB|2=32+62=45，

∴13≤m2+n2≤45，即m2+n2的取值范围为[13，45]．

16、解: （Ⅰ）

（Ⅱ）
，则
，

所以
，即

则
从而

18、Ⅰ）证明：

又
平面
，
平面

∥平面
……………3分

（Ⅱ）由等边
，等边
，
为
的中点得：
，

平面
又
平面

在
中，
，
，

，
……………6分

又

在
中，由余弦定理得：
……………7分

……………8分

又

⊥平面
……………9分

（Ⅲ：建立如图的空间直角坐标系，

则

……11分

设平面BCD的法向量为
，

则
，

取
…12分

设
与平面
所成角为，

则

19、解析：（1）当
，时
，

又
，也满足上式，所以数列{
}的通项公式为
．

，设公差为
，则由
成等比数列，

得
， 解得
（舍去）或
，

所以数列
的通项公式为
．

（2）由（1）可得

，

20、 （1）
……3分

（2）显然直线x=0不满足题设条件，可设直线l：

由
得
．----------4分

,
……6分

由
∴

得
。……9分

（3）由椭圆的对称性可知PQSR是菱形，原点O到各边的距离相等。

当P在y轴上，Q在x轴上时，直线PQ的方程为
，

由d=1得
，-----10分

当P不在y轴上时，设直线PS的斜率为k，
，则直线RQ的斜率为
，

由，得
……（1），同理
……（2） -----------12分

在Rt△OPQ中，由
，即

所以
，化简得
，
，即
。d=1时a,b满足条件

21、解：（1）由
得,
且
,则函数
的定义域为
,

且
,令
,即
,解得

当
且
时,
;当
时
,

函数
的减区间是
,增区间是
………4分

（2） 由题意得，函数
在
上是减函数，

在
上恒成立，即
在
上恒成立，

令
，
,因此
即可

由
，当且仅当
,即
时等号成立，
，因此
,故的最小值为
………8分

（3）命题“若存在
，使
，”等价于

“当
时，有
”，

由（2）得，当
时，
，则
，

故问题等价于：“当
时，有
”，

,由（2）知
,

当
时，
在
上恒成立，因此
在
上为减函数，则
,故
,

（2）当
时，
在
上恒成立，因此
在
上为增函数，

则
,不合题意

（3） 当
时，由于

在
上为增函数，故
的值域为
，即
．

由
的单调性和值域知，存在唯一
，使
，且满足：

当
时，
，
减函数；

当
时，
，
增函数；

所以，
,
,

所以，
与
矛盾，不合题意．

综上，得
．