2015年马鞍山市高中毕业班第二次教学质量检测

高三理科数学答案

一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

D

B

D

A

C

B

C

A

D

A





二、填空题：

（11）【答案】
.

（12）【答案】

（13）【答案】.

（14）【答案】
.

（15）【答案】③④.

三、解答题：

（16）(本题满分12分)

解： (Ⅰ)

由
及

得
在[0，π]上单调递增区间为
． ………………6分

(Ⅱ)
，

………………9分

，

当C=
时，

………………………12分

（17）(本题满分12分)

解：（Ⅰ）已知
，要使
， 只须后四位数字中出现2个0和2个1

………… 5分

（Ⅱ）
的取值可以是1，2，3，4，5， …………… 6分

，
，
，

，
，

的分布列是

1

2

3

4

5



P













………… 10分

…………… 12分

（另解：记
，则
，
，
）

（18）（本小题满分12分）

(Ⅰ) 证明：

，

； … 6分

(Ⅱ)以为坐标原点，
分别为
正半轴，建立空间直角坐标系，

则
,
,
,
,
,
，

二面角
即为二面角
，

由
垂直知
，故
的法向量可以取
，

设
的法向量
，则有

，

令
得
，
，

所以二面角
的余弦值为
． …………… 12分

注：若学生第（Ⅱ）问给出正确的几何解法，请给分．

（19）（本题满分13分）

【命题意图】本题考查导数与不等式的应用，考查学生运算能力、推理思维能力和解决具体问题的能力，中等题.

（Ⅰ）
，
，

当
时，
，
在
上单减，无极值，

当
时，
在
上单减，在
上单增，

由题，
，故
； …………… 6分

（Ⅱ）
，
，

由题，
对
恒成立， …………… 8分

时，
，故
对
恒成立，

记
，则
，

故
在
上单减，又
，所以
． …………… 13分

（20）（本小题满分13分）

【命题意图】本题考查椭圆、抛物线的方程与性质，考查利用导数求曲线切线的方法，考查学生运算能力、分析问题的能力，较难题.

（Ⅰ）由题，抛物线
的准线为
，

代入椭圆
得点
，

抛物线
即
，
，

设点
，则切线
，

将点
代入上式，得：
，

即
，即
，

由于点
在轴的右侧，所以点
，

从而
，

故
； …………… 7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得直线
，即
，

，

整理得：
，即
，

该方程有两个等根
，故直线
是椭圆
的切线． …………… 13分

注：本题若有学生利用抛物线、椭圆的光学性质完成正确解答，请酌情给分．

（21）（本小题满分13分）

【命题意图】本题考查数列与不等式的综合运用，考查数学归纳法证明数列不等式，考查学生应用知识解决问题的能力，较难题.

（Ⅰ）当
，
时，
，
，

由累乘法得：
； …… 5分

（Ⅱ）法一：当
，
时，
，
，
，

当
时，由
知不等式成立；

假设
时，
，那么：

，

要证
，只需证
，

即证
，

而
，故
时不等式仍然成立，

综上，当
时，
． …………… 13分

（Ⅱ）法二：当
，
时，
，由于
，

所以
，且
，
，

于是
时有：
，

当
时，
，即
，

于是：

，

令
，
，

相减得：
，

所以
． …………… 13分