龙海二中2015届高三高考围题卷理科数学

时间：120分钟 满分：150分

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集为R，
的定义域为集合
，
的解集为集合
，

则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．下列命题中为真命题的是（　　）.

　 A． 若x≠0，则x+
≥2.

　 B． 命题：若x2=1，则x=1或x=﹣1的逆否命题为：若x≠1且x≠﹣1，则x2≠1

　 C． “a=1”是“直线x﹣ay=0与直线x+ay=0互相垂直”的充要条件

　 D．“
”是“函数
在区间
上单调递减”的充要条件；

3．某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（ ）.

A.12 B.24 C.30 D.48

4． 把14个棱长为1的正方体，在地面上堆叠成如图所示的几何体，然后将露出的表面部分染成红色．那么红色部分的面积( )

为 （　 　）．

A. 21 B.24 C. 33 D.37

5．已知命题甲：
，命题乙：双曲线
的渐近线与圆
相切，则命题甲为命题乙的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．已知某名校高三学生有2000名，在某次模拟考试中数学成绩
服从正态分布
，已知
，若年段按分层抽样的方式从中抽出100份试卷进行分析研究，则应从140分以上的试卷中抽( )

A．4份 B．5份 C．8份 D．10份

7．已知某程序框图如图所示，则输出的i的值为 （ ）.

A．7 B．8 C．9 D．10

8.函数
的图像与函数
的图

像（ ）

A 有相同的对称轴但无相同的对称中心

B 有相同的对称中心但无相同的对称轴

C 既有相同的对称轴但也有相同的对称中心

D 既无相同的对称中心也无相同的对称轴

9．已知数列
的前
项和为
，且
，在等差数列
中，
，且公差
.使得
成立的最小正整数
为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

10．下列4个不等式：(1) 故

； (2)

；

(3)

； (4)

。能够成立的个数是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分。

11．复数
满足
为虚数单位），则复数
.

12．有下列曲线
,
,
围成的平面图形的面积是

13. 设不等式组
表示的平面区域为D，若指数函数y=
的图像上存在区域D上的点，则a 的取值范围是

14.已知函数
，若方程
有且仅有两个不等的实根，则实数
的取值范围是 .

15．已知抛物线
上一点
，若以
为圆心，
为半径作圆与抛物线的准线
交于不同的两点
，设准线
与x轴的交点为A，则
的取值范围是 .

三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16．（本小题满分13分）在△ABC中，角A、B、C对应的边分别是a、b、c，已知
. (I)求角A的大小；

(II)若b＝5，sin Bsin C=,求△ABC的面积S.

17．（本小题满分13分）学校高一年段在上学期依次举行了“法律、环保、交通”三次知识竞赛活动，要求每位同学至少参加一次活动.高一（1）班50名学生在上学期参加该项活动的次数统计如图所示. （1）从该班中任意选两名学生，求他们参加活动次数不相等的概率.

（2）从该班中任意选两名学生，用
表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量
的分布列及数学期望
.

（3）从该班中任意选两名学生，用
表示

这两人参加活动次数之和，记“函数

在区间（3，5）上有且

只有一个零点”为事件A，求事件A发生的概率.

18．（本小题满分13分）.在如图所示的多面体中，
⊥平面
，
⊥平面ABC，

，且
，
是
的中点．

（Ⅰ）求证：
⊥
；

（Ⅱ）求平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值；

（Ⅲ）在棱
上是否存在一点
,使得直线
与平面

所成的角为
．若存在，指出点
的位置；若不存在，请说明理由．

19.（本小题满分13分）已知圆
，圆
，动圆D和定圆A相内切，与定圆B相外切，(1)记动圆圆心D的轨迹为曲线C，求C的方程；

(2)M、N是曲线C和x轴的两个交点，P是曲线C上异于M?N的一点，求证
为定值；

(3)过B点作两条互相垂直的直线
分别交曲线C于E?F?G?H，求四边形EGFH面积的取值范围。

20.（本小题满分14分）已知函数
.

(1)若
的切线方程;

(2) 若函数
在
上是增函数,求实数m的取值范围.

(3) 设点
满足
,判断是否存在点P (m,0),使得以AB为直径的圆恰好过P点，说明理由；

21.（本题满分14分）

（1）(本小题满分7分)选修4—2：矩阵与变换

在平面直角坐标系中，矩阵
对应的变换将平面上任意一点
变换为点
．（Ⅰ）求矩阵
的逆矩阵
；

（Ⅱ）求曲线
在矩阵
的变换作用后得到的曲线
的方程．

（2）（本小题满分7分) 选修4—4：极坐标与参数方程

在直角坐标系
中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.

已知曲线C
：
（t为参数）， C
：
（
为参数）。

（I）化C
，C
的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

（II）若C
上的点P对应的参数为
，Q为C
上的动点，求
中点
到直线
距离的最小值.

（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲

已知函数
.（Ⅰ）求函数
的最小值
；

（Ⅱ）若正实数
满足
，求证：
.

参考答案

一、选择题1．C 2．B3．B4．C 5．A 6．B 7．C 8．A 9．C 10. D

二、填空题

11.
. 12．1. 13．(1,3]； 14.
15.
．

三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16．【解】　(I)由
，得

2cos2A＋3cos A－2＝0，即(2cos A－1)(cos A＋2)＝0.----2分

解得cos A＝或cos A＝－2(舍去)．----4分因为0

(II)由又由正弦定理，得sin Bsin C＝sin A·sin A＝·sin2A＝＝.—8分

由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A,又b＝5，所以c＝4或
----10分

S＝bcsin A＝bc·＝bc＝5或
----13分

17．（1）从该班任取两名学生，他们参加活动的次数恰好相等的概率：

P =
= ,故P = 1 - = .-----4分

(2) 从该班中任选两名学生，用?表示这两学生参加活动次数之差的绝对值，则?的可能取值分别为：0 ，1，2，于是P(? = 0)= , P(? = 1)=
= ,P(? = 2)=
= , 从而?的分布列为：

?

 0

 1

 2





P

 







E? = 0?+ 1? + 2? = .---------------8分

(3) 因为函数f(x) = x2 - ?x – 1 在区间(3,5)上有且只有一个零点，则

f(3)?f(5) < 0 , 即：(8 - 3?)(24- 5?) < 0 ,
< ? < -------10分

又由于?的取值分别为：2,3,4,5,6,故? = 3或4,

故所求的概率为：P(A)=
= .------------------13分

18．（本小题满分13分）（I）证明：
是
的中点
．

又

平面
，
．
平面

∴
………………4分

（Ⅱ）以
为原点，分别以
,
为x，y轴，如图建立坐标系
，

则

设平面
的一个法向量
，则

取
所以
设平面
的一个法向量
，则
取
，所以

所以平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值
. …9分

（Ⅲ）设
且
,

若直线
与平面
所成的角为
，则

解得：
，所以符合条件的点
存在，为棱
的中点. ……13

19.（本小题满分13分）解：（1）设动圆圆心M
，半径为r，由动圆M和定圆A相内切，与定圆B相外切，可得
，所以
，----2分

则M是以AB为焦点的椭圆，
，所以曲线C的方程为
。-3分

（2）由题意可得，
，设
，则有
，那么
=
-------6分

（3）（Ⅰ）当
中有一条斜率不存在时，不妨设
则
，所以
。----------7分

（Ⅱ）当
的斜率均存在时，不妨设
的斜率为
，则
的斜率为
，设
，

因为B
，所以联立直线方程和椭圆方程，有
，得
，所以
将
换为
，有
，
，

则
，------10分

设
，则
，

那么

当t=2，即
时，
取最小值
，当
时，

综上所述，四边形EGFH面积的取值范围为
。----------------13分

20.（本小题满分14分）解析：（1）
，
，所以切线方程为
； -------4分

（2）
，

若函数
在
上是增函数，则
在
上恒成立，有
在
上恒成立，设
，
，
在
是减函数，在
是增函数，所以
的值域为
，即
在
上恒成立。

有
，解得
----9分

（3） 依题意得

不存在实数
，使得
为直角． ――14分

21.解：（Ⅰ）设点
在矩阵
对应的变换作用下所得的点为