江西师大附中高三上学期期末考试数学（理）试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意）

1.若纯虚数
满足
，则实数
等于（ ）

A．
B．
或
C．
D．

2.已知函数
向右平移
个单位后，所得的图像与原函数图像关于
轴对称，则
的最小正值为（ ）

A．
B．
C．
D．

3.若
，则
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

4.如右图，当输入
，
时，图中程序运行后输出的结果为（ ）

A．3； 33 B．33；3 C.-17；7 D．7；-17

5.定义
为
个正数
的“均倒数”，若已知数列
的前
项的“均倒数”为
，又
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

6.若关于
的不等式组
，表示的平面区域是等腰直角三角形区域，则其表示的区域面积为（ ）

A.
或
B.
或
C.
或
D.
或

7．如图，网格纸是边长为1的小正方形，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）

A．4 B．8 C．16 D．20

8.已知等差数列
的第8项是二项式
展开式的常数项，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

9.不等式
对于任意
及
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）

A．
≤
B．
≥
C．
≤
D．
≤

过双曲线
的右焦点
作一条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为（ ）

A．
B．
C．
D．

11.已知
是单位圆上互不相同的三点，且满足
，则
的最小值为（ ）

A．
B．
C．
D．

12.已知函数
，其在区间
上单调递增，则
的取值范围为（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知函数
的图象在点
处的切线方程是
，则
．

14.已知
,那么
的值是 ．

15.将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为
，第二次出现的点数记为
，设任意投掷两次使直线
，
平行的概率为
，不平行的概率为
，若点
在圆
的内部，则实数
的取值范围是 ．

16.已知
中，
，
点在平面
内，且
，则
的最大值为 ．

三、解答题（本大题共8小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分12分）在公比为
的等比数列
中，
与
的等差中项是
.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若函数
，
，的一部分图像如图所示，
，
为图像上的两点，设
，其中
与坐标原点
重合，
，求
的值.

18.（本小题满分12分）2015年9月3日，抗战胜利70周年纪念活动在北京隆重举行，受到全国人民的瞩目。纪念活动包括举行纪念大会、阅兵式、招待会和文艺晚会等，据统计，抗战老兵由于身体原因，参加纪念大会、阅兵式、招待会这三个环节（可参加多个，也可都不参加）的情况及其概率如下表所示：

参加纪念活动的环节数

0

1

2

3



概率











（Ⅰ）若从抗战老兵中随机抽取2人进行座谈，求这2人参加纪念活动的环节数不同的概率；

（Ⅱ）某医疗部门决定从这些抗战老兵中随机抽取3名进行体检（其中参加纪念活动的环节数为3的抗战老兵数大于等于3），设随机抽取的这3名抗战老兵中参加三个环节的有
名，求
的分布列和数学期望.

19.（本小题满分12分）如图,四棱柱
的底面
是平行四边形,且
,
,
,
为
的中点,
平面
．

（Ⅰ）证明:平面
平面
；

（Ⅱ）若
,试求二面角
的余弦值．

（本小题满分12分）已知抛物线
的顶点为坐标原点，焦点
，其准线与
轴的交点为
，过点
的直线
与
交于
两点，点
关于
轴的对称点为
．

（Ⅰ）证明：点
在直线
上；

（Ⅱ）设
，求
内切圆
的方程.

21.（本小题满分12分）已知函数
（其中
，
是自然对数的底数），
为
导函数．

（Ⅰ）若
时，
都有解，求
的取值范围；

（Ⅱ）若
，试证明：对任意
，
恒成立．

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号上方的方框涂黑．

（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图，
是圆
的直径，
是弦，
的平分线
交圆
于点
，
，交
的延长线于点
，
交
于点
。

（Ⅰ）求证：
是圆
的切线；

（Ⅱ）若
，求
的值.

23.（本小题满分10分）选修4－4：极坐标与参数方程

已知曲线C的极坐标方程是
=1，以极点为原点，极轴为
轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线
的参数方程为
为参数）．

（Ⅰ）写出直线
与曲线C的直角坐标方程；

（Ⅱ）设曲线C经过伸缩变换
得到曲线
，设曲线
上任一点为
，求
的最小值．

（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数

（Ⅰ）若不等式
有解，求实数
的最小值
；

（Ⅱ）在（1）的条件下，若正数
满足
，证明：
.

2015~2016学年度高三上学期期末考试

数学（理）试卷答案

1—6 DDBACA 7—12CCACBC

13.7 14.1 15.
16.10

试题解析：（Ⅰ） 解：由题可知
，又
， ---------3分

故
∴
 ----------5分

（Ⅱ）∵点
在函数
的图像上，

∴
，又∵
，∴
 -------------7分

如图，连接
，在
中，由余弦定理得

又∵
∴
-------------9分

∴
∴
-------------12分

试题解析：（Ⅰ）设“这2名抗战老兵参加纪念活动的环节数不同”为事件
，则“这2名抗战老兵参加纪念活动的环节数相同”为事件
，

根据题意可知
， -------------3分

由对立事件的概率计算公式可得
，

故这2名抗战老兵参加纪念活动的环节数不同的概率为
. -------------6分

（Ⅱ）根据题意可知随机变量
的可能取值为0,1,2,3且

，