2016高考置换卷1

数学（理科）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。

第I卷（选择题 共60分）

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知i是虚数单位，复数z满足
=i，则z的模是（　　）

1 B．
C．
D．

2.化简
的值为

A.
B.
C.-
D.-

3.命题“对任意
都有
”的否定是（ ）

A．对任意
，都有
B．不存在
，使得

C．存在
，使得
D．存在
，使得

4.设某批产品合格率为，不合格率为，现对该产品进行测试，设第ξ次首次测到正品，则 P(ξ＝3)等于(　　)

A．C32()2×() B．C32()2×() C．()2×() D．()2×()

5.设
.
是双曲线
的左.右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使
（O为坐标原点）且

则
的值为（ ）

A.2 B.
C.3 D.

6.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（　　）?

A．134石? B．169石 ?C．338石 ?D．1365石

7.如果
是
所在平面内一点，
为
边中点，且
，那么（ ）

A.
B.
C.
D.

8.（2015?丽水一模）设函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）
的最小正周期为π，且f（﹣x）=f（x），则（　　）

A f（x）在
单调递减 B f（x）在（
，
）单调递减

C f（x）在（0，
）单调递增 D f（x）在（
，
）单调递增

9.执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（ ）

A 16 B 25 C 36 D 49



10.
的展开式中
项的系数为

A 45　　　　B 72　　　　C 60　　　　D 120

11.如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）

A.
B.
C.
D.

12.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当
时，
若
则实数a的取值范围为（ ）

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题 共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分。第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22~24题为选考题，考生根据要求作答。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。

13. 已知函数
，若实数
满足
，则
______

14.已知双曲线C：
(a＞0，b＞0)的一条渐近线与直线l：
垂直，C的一个焦点到l的距离为1，则C的方程为__________________.

15.已知实数x、y满足|x|≥|y|+1，则
的取值范围是　 　．

16.如图为了测量
，
两点间的距离，选取同一平面上
，
两点，测出四边形
各边的长度（单位：
）:AB=5,BC=8,CD=3,DA=5,如图所示，且A、B、C、D四点共圆，则
的长为_________
．

三．解答题：本大题共6小题，前5题每题12分，选考题10分，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

17.设数列
的前
项和为
，已知

（1）求数列
的通项公式；

（2）若数列
满足
，求数列
的前
项和
.

18. 如图2，三角形
所在的平面与长方形
所在的平面垂直，
，
，
.点
是
边的中点，点
、
分别在线段
、
上，且
，
.

（1）证明：
； （2）求二面角
的正切值；

（3）求直线
与直线
所成角的余弦值.

19.某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如下表：

年份

2007

2008

2009

2010

2011

2012

2013



年份代号t

1

2

3

4

5

6

7



人均纯收入y

2.9

3.3

3.6

4.4

4.8

5.2

5.9



（1）求y关于t的线性回归方程；

（2）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
，

20.已知椭圆
：
的离心率为
，点
和点

都在椭圆
上，直线
交
轴于点
．

（1）求椭圆
的方程，并求点
的坐标（用
，
表示）；

（2）设
为原点，点
与点
关于
轴对称，直线
交
轴于点
．问：
轴上是否存在点
，使得
？若存在，求点
的坐标；若不存在，说明理由．

21.设函数
，
，其中
为实数．

（1）若
在
上是单调减函数，且
在
上有最小值，求
的取值范围；

（2）若
在
上是单调增函数，试求
的零点个数，并证明你的结论．

请考生在22~24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

22.选修4－1：几何证明选讲

如图，⊙O过平行四边形ABCT的三个顶点B，C，T，且与AT相切，交AB的延长线于点D.

(1)求证：AT2＝BT·AD；

(2)E、F是BC的三等分点，且DE＝DF，求∠A.

23.选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的参数方程为
（t为参数），直线l的极坐标方程为2ρsin（
－θ）＝

（1）写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

（2）设曲线C与直线l的交点为A、B两点，求△OAB（O为坐标原点）的面积．

24.选修4－5:不等式选讲.

已知函数f(x) = |x + a| + |x－2|.

（1）当a =－3时，求不等式f(x)≥3的解集；

（2）若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围。

2016高考置换卷1答案解析

1.【答案】C

【解析】： 解：由
=i，得（1+i）z=i， ∴
，

∴
． ∴选C．

2.【答案】A

3.【答案】D

4.【答案】 C

5.【答案】A

6.【答案】B

【解析】由题意，这批米内夹谷约为1534×
≈169石， ∴选：B．

7.【答案】A

8.【答案】A

【解析】由于f（x）=sin（ωx+
）+cos（ωx+
）=
，

∵该函数的最小正周期为π=
，得出ω=2，

又根据f（﹣x）=f（x），得φ+
=
+kπ（k∈Z），以及|φ|＜
，得出φ=
．∴f（x）=
cos2x，

若x∈
，则2x∈（0，π），从而f（x）在
单调递减，

若x∈（
，
），则2x∈（
，
） 该区间不为余弦函数的单调区间，故B，C，D都错，A正确．∴选A．

9.【答案】C

【解析】s=0,i=1,n=1；s=1,i=2,n=3；s=4,i=3,n=5；s=9,i=4,n=7；s=16,i=5,n=9；s=25,i=6,n=11,s=36终止循环故选C.

10.【答案】B

11.【答案】D

12.【答案】B

13.【答案】1

14.【答案】

15.【答案】[﹣2，2]

【解析】画出满足条件|x|≥|y|+1的平面区域，如图示：

，

设z=
，则y=zx+2，当直线过（﹣1，0）时，z最小为﹣2，

当直线过（1，0）时，z最大为2 ∴﹣2≤z≤2， ∴答案为：[﹣2，2]．

16.【答案】7

【解析】因为
四点共圆，所以
，在
和
中，由余弦定理可得：

将
代入可得
，故答案为7.

17.【答案】（1）
（2）

【解析】（1）由
可得
，

而
，则

（2）由
及
可得

.

∴

18.【答案】（1）见解析；（2）
；（3）
．

【解析】（1）证明：∵
且点
为
的中点，

∴
，又平面
平面
，且平面
平面
，
平面
，

∴
平面
，又
平面
，

∴
；

（2）∵
是矩形，

∴
，又平面
平面
，且平面
平面
，
平面
，

∴
平面
，又
、
平面
，

∴
，
， ∴
即为二面角
的平面角，

在
中，
，
，
，

∴
即二面角
的正切值为
；

（3）如右图所示，连接
，

∵
，
即
， ∴
，

∴
为直线
与直线
所成角或其补角，

在
中，
，
，

由余弦定理可得

∴ 直线
与直线
所成角的余弦值为
．

19.【答案】

【解析】（1） 由所给数据计算得
（1+2+3+4+5+6+7）=4

（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3
=9+4+1+0+1+4+9=28

=（3）×（1.4）+（2）×（1）+（1）×（0.7）+0×0.1+1×0.5+2×0.9+3×1.6

=14.

.

所求回归方程为
.

（2）由（1）知，b=0.5﹥0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元。

将2015年的年份代号t=9带入（I）中的回归方程，得
故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元.

20.【答案】（1）
M
（2）存在Q（0，
）

【解析】（1）由于椭圆
：
过点
且离心率为
，


，
，椭圆
的方程为
.

,直线
的方程为：
，令
，
；

（2）∵p（0,1），B(m，-n)，直线PB的方程：y=
x+1，直线PB与x轴交与点N,令y=0，x=
，则N（
,0）

设Q（0，
）

tan∠OQM=
，tan∠ONQ=
，

∵∠OQM=∠ONQ, ∴tan∠OQM=tan∠ONQ,

则∠OQM=
，所以
，（注:点A（m,n）（m≠0）在椭圆C上，
，则
，存在点Q（0，
）使得∠OQM=∠ONQ

21.【答案】（1）
＞e （2）见解析

【解析】（1）
≤0在
上恒成立，则
≥
，
．

故：
≥1．
， 若1≤
≤e，则
≥0在
上恒成立，

此时，
在
上是单调增函数，无最小值，不合；

若
＞e，则
在
上是单调减函数，在
上是单调增函数，
，满足．

故
的取值范围为：
＞e．

（2）
≥0在
上恒成立，则
≤ex， 故：
≤．
．

(ⅰ)若0＜
≤，令
＞0得增区间为(0，)； 令
＜0得减区间为(，﹢∞)．

当x→0时，f(x)→﹣∞；当x→﹢∞时，f(x)→﹣∞； 当x＝时，f()＝﹣lna－1≥0，当且仅当
＝时取等号．

∴当
＝时，f(x)有1个零点；当0＜
＜时，f(x)有2个零点．

(ⅱ)若a＝0，则f(x)＝﹣lnx，易得f(x)有1个零点．

(ⅲ)若a＜0，则
在
上恒成立，

即：
在
上是单调增函数， 当x→0时，f(x)→﹣∞；当x→﹢∞时，f(x)→﹢∞．

此时，f(x)有1个零点．

综上所述：当
＝或a＜0时，f(x)有1个零点；当0＜
＜时，f (x)有2个零点．

22.【答案】（1）见解析 （2）∠A=45°

【解析】（1）证明：因为∠A＝∠TCB，∠ATB＝∠T