河北省衡水中学2016届高三上学期期末考试

数学试卷（文科）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷(非选择题)两部分，共150分。考试时间120分钟。

第I卷(选择题共60分）

一、选择题（每小题5分，共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序 号填涂在答题卡上）

1.已知集合 M= { —2，-l，0，l}，N={
∣
≤2x≤4 x
},则M
N=

A. {—2, —1,0,1,2} B. { — 1,0,1,2}

C_ {-1,0,1} D. {0,1}

2. i为虚数单位，已知复数z和(z + 2)2+8i都是纯虚数，则复数
= ( )

A. l±2i B. l + 2i

C. 1—2i D.±2i

3.投掷两枚骰子，则点数之和是8的概率为 （ ）

A.
B. l/6

C.
D.1/12

4?巳知数列{an}的通项公式 an = 2015sin
，则a1+a2+…+a2015= ( )

A.—2015 B. 2015

C. 0 D. 2014

5.三棱柱ABC—中，侧棱AA1丄底面A1B1C1，底面三角形是正三角形，E是 BC中点，则下列叙述正确的是 （ ）

A.CC1与B1E是异面直线 B.AC丄平面ABB1A1

C.AE 丄 B1C1 D. A1C1//平面 AB1E

6.在?ABC中，M是BC的中点，AM=1，P在AM上，且满足
=—2
，则
.(
+
)= ( )

A.
B. -

C.
D.-

7.设x，y满足条件：
，则z=3x+2y的最大值为 （ ）

A. 8 B. 9

C. 28 D. 29

8.如图给出的是计算1+
的值的一个程序框图，则图中执行框内①处和判断框中的②处应填的语句是

A. n=n+2, i=15 B. n=2+2,i>15

C. n=n+l, i=15 D. n=n+l ,i>15

9.如图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4 的等腰梯形，则该几何体的侧面积是 （ ）

俯视图

A.24
B. 6
C.18
D. 12

10.已知函数
(x
R)是偶函数，函数
是奇函数，且
(1) = 1，则
(2015)=( )

A.2015 B -2015 C.1 D. -1

11. 双曲线
=l(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，渐近线分别为
.点P在第一象限内且在
上，若
丄PF1.
//PF2则双曲线的离心率是

（ ）

A.
B. 2 C.
D.

12.已知函数
，且F(x)—ax> —1对于定义域内的任意的x恒成立，则a的取值范围是 （ ）

A. (—6,0] B.[—6,0] C. (—1,0] D. [—1,0]

第II卷(非选择题共90分)

二、填空题（每小题5分，共20分。把答案填在答题纸的横线上）

13.若函数
= 2
（
>0）的图象与i轴相邻两个交点间的距离为2，则实数
的值为 .

14.在区间 [0，1]上随机地任取两个数a，b，则满足a2+b2<|/4的概率为 .

15.设A，B为抛物线y2=2px(p>0)上不同的两点，0为坐标原点，且OA丄OB，则?OAB面积的最小值为 .

16.已知数列{an}是递增数列，且an=
，则
的取值范围

为 .

三、解答题（本大题共8小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）

17.(本小题满分12分）

如图，在?ABC中，巳知B=
，AC=4
，D为BC边上一点.

(1)若 AD = 2，SDAC=2
求 DC 的长；

(2)若AB=AD，试求?ADC的周长的最大值.

18.(本小题满分12分）

济南天下第一泉风景区为了做好宣传工作，准备在A和B两所大学分别招募8名和12名 志愿者，将这20名志愿者的身高编成如下茎叶图（单位：cm).若身高在175cm以上（包括 175cm)定义为“高精灵”，身高在175cm以下（不包括175cm)定义为“帅精灵”已知A大学志愿者的身高的平均数为176cm，B大学志愿者的身高的中位数为168cm.

(1)求学x、y的值；

(2)如果用分层抽样的方法从“高精灵”和“帅精灵”中抽取5人，再从这5人中选2人.求至少有一人为“高精灵”的概率.

19.(本小题满分12分）

已知三棱柱ABC—A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AC=BC，点D是的中点?

(1)求证:BC1//平面 CA1D1；

(2)若底面ABC为边长为2的正三角形，BB1=
，求三棱锥B1-A1DC的体积.

20.(本小题满分12分）

已知椭圆E
=1(a>b>0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=1/2，过F1的直线交椭圆于A,B两点，且△ABC的周长为8.

(1)求椭圆E的方程；

(2)设椭圆左，右顶点分别为C，D，P为直线x=
上一动点，PC交椭圆于M，PD交椭圆于N，试探究在坐标平面内是否存在定点Q，使得直线MN恒过点Q? 若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由；

(3)在(2)的前提下，问当P在何处时，使得S△CMN最大？

21.(本小题满分12分）

设函数

(1)若x=2是函数
的极值点，1和x0是函数
的两个不同零点，且

（n，n+1），n
N,求n。

(2)若对任意b
［—2，一 1]，都存在x
(l，e)(e为自然对数的底数），使得
<0成立， 求实数a的取值范围.

请考生在22,23,24题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题纸上所选题目对应的题号右侧 方框涂黑，按所涂题目进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题 进行评分。

22.(本小题满分10分）

如图，巳知是AB是园O的直径，过OA的中点G作弦CE丄AB于G，点D为优弧CBE上（除点B外)一动点，过D分别作直线CD、ED交直线AB于点F、M.

(1)求∠FDM的值；

(2)若园O的直径长为4，M为OB的中点，求△CED的面积.

23.(本小题满分10分）

已知曲线C1的参数方程为：
（t为参数），C2：
（
为参数）

(1)求C1，C2的普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

(2)若C1上的点P对应的参数t=
，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线

C3
（t为参数)距离的最小值.

24.(本小题满分10分）

设函数设函数
=丨x+a丨+丨2x?1丨，a
R.

(1) 当a= 1时，求不等式
≥3的解集；

(2)若不等式
≤2x的解集包含[
，1]，求a的取值范围.

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