2016届石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷

数学（理科）A卷

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.若复数
（
是虚数单位），则
( )

A．
B．
C．
D．

2.已知集合
，
，则
( )

A．
B．
C．
D．

3.设变量
满足约束条件
，则目标函数
的最小值为( )

A．
B．
C．
D．

4.函数
的部分图像如右图所示，则
的值为( )

A．
B．
C．
D．

5.程序框图如图，当输入
为
时，输出的
的值为( )

A．
B．
C．
D．

6.为比较甲乙两地某月11时的气温情况，随机选取该月中的5天中11时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图，考虑以下结论：

甲







乙







9

8

2

6

8

9



2

1

0

3

1

1





①甲地该月11时的平均气温低于乙地该月11时的平均气温

②甲地该月11时的平均气温高于乙地该月11时的平均气温

③甲地该月11时的气温的标准差小于乙地该月11时的气温的标准差

④甲地该月11时的气温的标准差大于乙地该月11时的气温的标准差

其中根据茎叶图能得到的正确结论的编号为( )

A．①③ B．①④ C．②③ D．②④

7.过点
作直线，与双曲线
有且只有一个公共点，则符合条件的直线的条数为( )

A．0 B．2 C．4 D．无数

8.如图所示的数阵中，用
表示第
行的第
个数，则依此规律
为( )

A．
B．
C．
D．

9.已知函数
的图象关于直线
对称，且当
时，
，若
，
，
，则
的大小关系是( )

A．
B．
C．
D．

10.某几何体的三视图如图所示，图中网格小正方形边长为1，则该几何体的体积是( )

A．
B．
C．
D．

11.
是圆
上不同的三点，线段
与线段
交于
，若
（
），则
的取值范围是( )

A．
B．
C．
D．

12.如图所示，一个圆柱形乒乓球筒，高为20厘米，底面半径为2厘米.球筒的上底和下底分别粘有一个乒乓球，乒乓球与球筒底面及侧面均相切（球筒和乒乓球厚度忽略不计）.一个平面与两乒乓球均相切，且此平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，则该椭圆的离心率为( )

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.
的展开式中常数项为 .

14.已知函数
，且
，则
的值为 .

15.已知
中，
于
，则
的值为 .

16.若函数
的图象与
轴相切于一点
，且
的极大值为
，则
的值为 .

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分12分）

18.（本小题满分12分）

在平面四边形
（图①）中，
与
均为直角三角形且有公共斜边
，设
，
，
，将
沿
折起，构成如图②所示的三棱锥
，且使
.

（Ⅰ）求证：平面
平面
；

（Ⅱ）求二面角
的余弦值.



19.（本小题满分12分）

某篮球队对篮球运动员的篮球技能进行统计研究，针对篮球运动员在投篮命中时，运动员在篮筐中心的水平距离这项指标，对某运动员进行了若干场次的统计，依据统计结果绘制如下频率分布直方图：

（Ⅰ）依据频率分布直方图估算该运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离的中位数；

（Ⅱ）在某场比赛中，考察他前4次投篮命中到篮筐中心的水平距离的情况，并且规定：运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离不少于4米的记1分，否则扣掉1分.用随机变量
表示第4次投篮后的总分，将频率视为概率，求
的分布列和数学期望.

20. （本小题满分12分）

已知抛物线
：
过点
，其焦点为
，且
.

（Ⅰ）求抛物线
的方程；

（Ⅱ）设
为
轴上异于原点的任意一点，过点
作不经过原点的两条直线分别与抛物线
和圆
：
相切，切点分别为
，求证：直线
过定点.

21. （本小题满分12分）

已知
（
为自然对数的底数，
）.

（Ⅰ）设
为
的导函数，证明：当
时，
的最小值小于0；

（Ⅱ）若
恒成立，求符合条件的最小整数
.

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图所示，过点
分别做圆
的切线
、
和割线
，弦
交
于
，满足
、
、
、
四点共圆.

（Ⅰ）证明：
；

（Ⅱ）若圆
的半径为5，且
，求四边形
的外接圆的半径.

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，已知曲线
：
和曲线
：
，以极点
为坐标原点，极轴为
轴非负半轴建立平面直角坐标系.

（Ⅰ）求曲线
和曲线
的直角坐标方程；

（Ⅱ）若点
是曲线
上一动点，过点
作线段
的垂线交曲线
于点
，求线段
长度的最小值.

24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数
.

（Ⅰ）若
恒成立，求实数
的最大值
；

（Ⅱ）在（Ⅰ）成立的条件下，正实数
满足
，证明：
.

2016届高三数学一模理科答案

一．选择题：

A卷答案：1-5 BCBDA 6-10 CCCBB 11-12 BA

B卷答案：1-5 ACADB 6-10 CCCAA 11-12 AB

二．填空题：

13..
14.

15. 6 16.

三、解答题：

17. 解：（I）由已知得
， -------------------------------2分

解得
，-------------------------------4分

所以
的通项公式为
，--------------------------------5分

（II）由（I）可知
，

所以
，①

，②---------------------7分

①-②得：

………………9分

---------------------11分

--------------------------12分

18. 解：（1）取
的中点
，连
，

在
，
，则
，又
，

，即
，…………2分

又
，
，
平面

平面
，…………………4分

又
平面

平面
平面

…………5分

（2）以
为原点，
，
所在的直线分别为
轴，建立如图空间直角坐标系，

则
，

…………6分

设平面
的法向量为
，则
，即
，

，令
，则
，
，

…………8分

设平面
的法向量为
，则
，即
，

，令
，则
，
，

………………10分

，

二面角
的余弦值为
.……………12分

19.解：（I） 设该运动员到篮筐的水平距离的中位数为x，

∵
，且
，

∴
…………………2分

随机变量
的所有可能取值为-4，-2,0,2,4； …………………………………8分

，

；

-4

-2

0

2

4



















…………………10分

…………………12分

20.解：（1）抛物线
的准线方程为：
，

，又
，即
--------------------2分

抛物线
的方程为
. -------------------4分

（2）设点

，由已知切线不为
轴，设

联立
，消去
，可得

直线
与抛物线
相切，
，即

代入
，
，即
--------------------------------------6分

设切点
，则由几何性质可以判断点
关于直线