2016好题精选模拟卷3

数学（理科）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。

第I卷（选择题 共60分）

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合M=｛（x，y）丨
=a+1｝，N=｛（x，y）丨（a2-1）x+（a-1）y=15｝。若M∩N=?，则a的值为（ ）

A±1，-4，2.5或0 B±1，-4或2.5 C2.5或-4 D±1，-4或0

2.已知2
是第一象限的角，且sin
+cos
=
，那么tan
=（ ）

A
B -
C
D -

3.定义在R上的函数f（x）=
，则f（x）（ ）

A既有最大值也有最小值 B既没有最大值，也没有最小值

C有最大值，但没有最小值 D没有最大值，但有最小值

4.某班班会准备从甲乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲乙两人甲乙两人至少有一人参加，当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻，那么不同的发言顺序有（ ）种

A 360 B 520 C 600 720

5.若正数a，b满足
，则
的最小值

A．1 B．6 C．9 D．16

6.如图，在△ABC中，
，P是BN上一点，若
，则实数m的值为（ ）

A 1 B
C
D 3

7. 阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（ ）

A.7 B.9 C.10 D.11

8.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（ ）

A
B
C
D

9.将编号为1,2,3,4,5,6的6张卡片，放入四个不同的盒子中，每个盒子至少放入一张卡片，则编号为3与6的卡片不在同一个盒子中的不同放法共有（ ）种

A 960 B 1240 C 1320 D 1440

10.抛物线y2=2x的焦点为F，过M（
，0）的直线与抛物线相交于A、B两点与抛物线的准线相交于点C，
=2，则△BCF与△ACF面积之比为（ ）

A
B
C
D

11.在△ABC中，已知
BAC的平分线交BC于点M，且BM：CM=2：3.若
AMB=60°，则
=（ ）

A 2 B
C
D 3

12.已知点A（-1,0）B（1,0）C（0,1），直线y=ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围（ ）

A（0,1） B（1-
，
） C（1-
，
） D[
，
）

第II卷（非选择题 共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分。第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22~24题为选考题，考生根据要求作答。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。

13.在△ABC中，a、b、c分别是∠A、B、C对应的边长。若cosA+sinA-
=0，则
=

14.已知线段OA、OB、OC两两垂直，且OA=1，OB=1，OC=2，若线段OA、OB、OC在直线OP上的投影长相等，则其射影长为

15.如图，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC、BD，设内层椭圆方程
（a＞b＞0），若直线AC与BD的斜率之积为-
，则椭圆的离心率为

16.若x∈[1,100]，则函数f（x）=x
的值域为

三．解答题：本大题共6小题，前5题每题12分，选考题10分，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

17.已知数列｛
｝满足a
=1，a
=2a
+（-1）
（n∈N
）

（1）若bn=a2n-1-
，求证：数列{bn}是等比数列并求其通项公式

（2）求an的通项公式

18.一款游戏的规则如下：如图为游戏棋盘，从起点到终点共7步，选定一副扑克牌中的4张A、2张2、1张3，其中A代表前进1步、2代表前进2步、3代表前进3步.如果在终点前一步时抽取到2或3，则只需前进一步结束游戏，如果在终点前两步时抽取到3，则只需前进两步结束游戏。游戏开始时不放回的依次抽取一张决定前进的步数。

(1)求恰好抽取4张卡片即结束游戏的概率；

(2)若游戏结束抽取的卡片张数记为X，求X的分布列和期望．

19.如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD,如图2.

(1)求证：A1C⊥平面BCDE；

(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；

(3)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由

20.已知曲线
与直线
交于两点
和
，且
．记曲线
在点
和点
之间那一段
与线段
所围成的平面区域（含边界）为
．设点
是
上的任一点，且点
与点
和点
均不重合．

（１）若点
是线段
的中点，试求线段
的中点
的轨迹方程；

（２）若曲线
与
有公共点，试求
的最小值．

21.设函数f（x）=x2+aln（x+1）

（1）若函数y=f（x）在区间[1，+
）上是单调递增函数，求a的取值范围

（2）若函数y=f（x）有两个极值点x1与x2，求证：0＜
＜-
+ln2

请考生在22~24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

22.选修4-1：几何证明选讲

如图，已知△ABC的两条角平分线AD和CE相交于H，∠B＝60°，F在AC上，且AE＝AF.

(1)求证：B，D，H，E四点共圆；

(2)求证：CE平分∠DEF.

23.选修4-4：极坐标与参数方程

已知点
是圆
上的动点，

（1）求
的取值范围；

（2）若
恒成立，求实数
的取值范围．

24.选修4-5：不等式选讲

设函数

求f(x)≤6 的解集

（2）若f(x)≥m 对任意x∈R恒成立，求m的范围。

2016好题精选模拟卷3答案解析

1. 【答案】B

【解析】若M∩N=?，则①两直线平行，有（a-1）（a+1）=1-a2，a=±1

②N过（2，3），有2（a2-1）+3（a-1）=15，解得a=-4或2.5，选B

2. 【答案】A

【解析】sin
+cos
=（sin
+cos
）2-2sin
cos
=

∴sin
cos
=
∴sin
cos
=
∴

∴
∴选A

3. 【答案】B

【解析】设t=x+1，则y=
当t＞0时，y=
在（0，+
）上递增

经计算，可知y=
为奇函数 ∴y
趋于1，y
趋于-1

∴图像为

∵y取不到最大值和最小值 ∴f（x）既没有最大值，也没有最小值 ∴选B

4. 【答案】C

【解析】若只有甲乙其中一人参加，有
=480种情况

若甲乙两人都参加，有
=240种情况，其中甲乙相邻的有
=120种情况

则不同的发言顺序种数为480+240-120=600种 ∴选C

5. 【答案】B

【解析】∵正数
，满足
，
，解得
同理
，

∴
，当且仅当
，即
等号成立，所以最小值为6．故选择B.

6. 【答案】C

【解析】∵
∴
∴

∵B、P、N共线 ∴m+
=1 ∴m=
∴选C

7. 【答案】B

【解析】当
时，
>-1，
,
>-1，

,
>-1，
,
>-1

,
<-1，所以输出

8. 【答案】A

【解析】取AB的中点D,连接SD,过点S作SE⊥DC.则AB⊥SD,AB⊥DC, ∴AB⊥平面SDC,

∴平面SDC⊥平面ABC, ∴SE⊥平面ABC SB=
=
,

∴∠SCB=60°,∠DCB=30° ∴由cos∠SCB=cos∠SCE×cos∠DCB得cos∠SCE=
∴CE=
∴V=(
)×
×
=
∴选A

9. 【答案】C

【解析】根据题意，有
=1320 ∴选C

10. 【答案】A

【解析】可设点A(2a2,2a),B(2b2,2b).由点A,M,B三点共线可知2ab=-
.

设BP⊥准线L于点P,AQ⊥准线L于点Q.

又由抛物线定义知，2b2+
=|BP|=|BF|=2.∴b2=
.结合2ab=-
,知a2=1.

显然(
):(
)=|BC|:|AC|=|BP|:|AQ|=(2b2+
):(2a2+
)=2:
=4:5=
∴选A

11. 【答案】C

【解析】∵AM平分∠BAC，由角平分线的性质：三角形一个角的平分线，这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例．

∴AB：AC=BM：CM=2:3 设AB=2k（k＞0） 则AC=3k

根据正弦定理，
，
两式相加可得：

可求得：

∴根据余弦定理：（BC）2=（2k）2+（3k）2-2×2k×3k×

整理可求得：BC=
k 则可求得
∴选C

12. 【答案】B

【解析】①y=ax+b和x轴交点在A时,容易得b=
；

∵此时以AB为底边,高只能为OC的一半,

∴y=ax+b与BC直线（x+y=1）交于（
,
）点,A（-1,0）,所以b=
；②当y=ax+b和x轴交点在A与（0,0）点之间时,不妨设为（x
,0）点,x
=-

又知y=ax+b与BC线段交于（x
,y
）点,x
=
,y
=
△ABC面积=1,

∴分割后的三角形面积=
=
（1-x
）×y
∴（a+b）2=a×(1+a)；即a=
＞0,

∴b＜
；③当y=ax+b和x轴交点在A点左侧时,明显b不能超过
；但也不能趋于0； ∴选B

如果展开第三点讨论,设y=ax+b与直线CA的延长线交（x
,y
）点,与BC交（x
,y
）点得x
=（1-b）/（1+a）,x3=（1-b）/（1+a）, 面积=
=
（1-b）×（x3-x
）

∴(1-b)(1-b)=
(1-a×a),a大于零,所以b＞1-
. ∴选B

13. 【答案】

【解析】∵cosA+sinA-
=0 ∴（cosA+sinA）（cosB+sinB）=2

∴cosAcosB+sinAsinB+sinAcosB+sinBcosA=2 ∴cos（A-B）+sin（A+B）=2

∵cos（A-B）∈[-1,1]；sin（A+B）∈[-1,1] ∴当二者和为2时，只能是二者均为1

即cos（A-B）=1，sin（A+B）=1 ∵A、B、C为△ABC内角 ∴A-B=0，A+B=90°

∴解得A=B=45° ∴C=180°-45°-45°=90°∴
=
=
+
=

14. 【答案】

【解析】线段OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=1，OC=2．若线段OA，OB，OC在直线OP上的射影长相等．解得：AC=BC=
，AB=
利用余弦定理：AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos∠ACB解