冀州市中学2016届仿真考试二

理科数学试题

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟

第I卷（选择题 共60分）

一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1、已知集合
，
，若
，则

A、
B、
C、
D、
（ ）

2、设
是虚数单位，则
（ ）

A、
B、
C、
D、

3、某小区有1000户，各户每月的用电量近似服从正态分布
，则用电量在320度以上的户数估计约为（ ）

【参考数据：若随机变量
服从正态分布
，则
，

】

A、17 B、23 C、34 D、46

4、给出下列结论：①命题“
”的否定是“
”；②命题“
”是“
”的充分不必要条件；③数列
满足“
”是“数列
为等比数列”的充分不必要条件。其中正确的是（ ）

A、①② B、①③ C、②③ D、①②③

5、若数列{
}满足
－
（
为常数），则称数列{
}为调和数列．已知数列{
}为调和数列，且x1＋x2＋…＋x20＝200，则
等于（ ）

A、10 B、20 C、30 D、40

6、在边长为1的正方形
中，且
，

，则
（ ）

　 A、－1　　B、1　　C、
　D、

7、我国古代数学名著《九章算术》中的更相减损法的思路与下面的程序框图相似．执行该程序框图，若输入的
分别为14，18，则输出的
等于（ ）

A、2 B、4 C、6 D、8

8、函数
的大致图像为（ ）

9、不等式组
的解集记为D，
，有下面四个命题：

p1：
，
；p2：
，
；p3：
，
；p4：
，
。其中的真命题是 （ ）

A、p1，p2 B、p1，p3 C、p1，p4 D、p2，p3

10、己知抛物线方程为
(
),焦点为
,
是坐标原点,
是抛物线上的一点,
与
轴正方向的夹角为60°,若
的面积为
,则
的值为（ ）

A、2或
B、
C、2 D、2或

11、一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体外接球的表面积为

A、
B、
C、
D、
（ ）

12、若过点
与曲线
相切的直线有两条,则实数a的

取值范围是( )

A、
B、
C、
D、

第Ⅱ部分（非选择题 共90分）

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应的横线上．

13、
的展开式中
项的系数等于 ．（用数字作答）

14、某校在暑假组织社会实践活动，将8名高一年级学生，平均分配甲、乙两家公司，其中两名英语成绩优秀学生不能分给同一个公司；另三名电脑特长学生也不能分给同一个公司，则不同的分配方案有 。（用数字作答）

15、已知数列
是首项为
，公差为
的等差数列，数列
满足
，则数列
的前
项的和为 。

16、已知
、
分别是双曲线
的左右焦点,若在双曲线的右支上存在一点M ,使得
(其中O为坐标原点),且
, 则双曲线离心率为 。

三、解答题：（共6小题，共70分；要求写出必要的文字说明，解题过程和演算步骤）

17、（本小题满分12分）

如图，在
中，点
在边
上，

，
.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若
的面积为
，求
的长。

18、（本小题满分12分）

某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入
万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）.由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从
开始计数的.

（Ⅰ）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；

（Ⅱ）估计该公司投入
万元广告费用之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；

（Ⅲ）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：

广告投入x（单位：万元）

1

2

3

4

5



销售收益y（单位：万元）

2

3

2



7





表中的数据显示，
与
之间存在线性相关关系，请将（Ⅱ）的结果填入空白栏，并计算
关于
的回归方程。

回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
.

19、（本小题满分12分）

如图，直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=2AD=4，点E、F分别是AB，CD的中点，点G在EF上，沿EF将梯形AEFD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF.

（Ⅰ）当AG+GC最小时，求证：BD⊥CG；

（Ⅱ）当
时，求二面角
平面角的余弦值.

20、（本小题满分12分）

设椭圆C：
的离心率
，点
在椭圆C上，点
到椭圆C的两个焦点的距离之和是4．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若椭圆
的方程为
，椭圆
的方程为
，则称椭圆
是椭圆
的
倍相似椭圆．已知椭圆
是椭圆C的

3倍相似椭圆．若椭圆C的任意一条切线
交椭圆
于M,N两点，O为坐标原点，试研究当切线
变化时
面积的变化情况，并给予证明．

21、（本小题满分12分)

已知函数
，
（
，
）．

（Ⅰ）若函数
在
处的切线
斜率为
，求
的方程；

（Ⅱ）是否存在实数
,使得当
时,
恒成立.若存在，求
的值；若不存在，说明理由.

请考生在第22，23，24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．

22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，AB是⊙O的直径，C、F是⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F作⊙O的切线FD交AB的延长线于点D．连接CF交AB于点E．

（Ⅰ）求证：DE2=DB?DA；

（Ⅱ）若DB=2，DF=4，试求CE的长．

23、（本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，以原点
为极点，
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线
的极坐标方程为
，曲线
的参数方程为
为参数）．

（Ⅰ）将曲线
的极坐标方程化为直角坐标方程，将曲线
的参数方程化为普通方程；

（Ⅱ）若
为
上的动点，求点
到直线

为参数）的距离的最小值．

24、（本小题满分10分）选修
：不等式选讲

已知
．

（Ⅰ）当
时，解不等式
；

（Ⅱ）若
的解集包含
，求实数
的取值范围。

冀州市中学2016届仿真考试二

理科数学试题参考答案

一、选择题：CDBABB ADDCCB

二、填空题：13、
； 14、36； 15、
； 16、
。

三、解答题：

17、（1）因为
，所以
.又因为

所以

所以

.

（2）在
中，由正弦定理得
，

故
.

又
解得
.

在
中，由余弦定理得
所以

18、解：(Ⅰ) 设各小长方形的宽度为
，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知

，故
. …………………4分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知各小组依次是
，

其中点分别为
，对应的频率分别为
，

故可估计平均值为
. ……8分

(Ⅲ) 空白栏中填5.

由题意可知，
，
，

，
，

根据公式，可求得
，
，

即回归直线的方程为
. ……………………………………………………12分

19、解：（1）证明：∵点E、F分别是AB、CD的中点，∴EF∥BC，又∠ABC=
∴AE⊥EF，

∵ 平面AEFD⊥平面EBCF，

∴ AE⊥平面EBCF，AE⊥EF，AE⊥BE，又BE⊥EF，

如图建立空间坐标系
．

翻折前，连接AC交EF于点G，此时点G使得AG+GC最小．

EG=
BC=2，又∵EA=EB=2．

则

∴
,
，∴
，

∴
.

（2）设
，∵AD∥平面EFCB，∴点D到平面EFCB的距离为即为点A到平面EFCB的距离．∵
,∴

∴

又∵
, ∴
∴
即EG=1.

设平面DBG的法向量为
，∵
，∴
，
，

则
，即
，取
，则
，∴
.

平面BCG的一个法向量为
，

则
，∵所求二面角
的平面角为锐角，∴此二面角平面角的余弦值为
.

20、解：（Ⅰ）依题意，
，

∴椭圆C方程为：
． ……………3分

（Ⅱ）依题意，椭圆C2方程为：
． ……………4分

当切线l的斜率存在时，设l的方程为：
．

由
得
，由
得
．…6分

由
得
，由
得
．

设
，则
…………7分

．

又点O到直线l的距离
，∴
． …………10分

当切线l的斜率不存在时，l的方程为
，
．…………11分

综上，当切线l变化时，
面积为定值
． …………12分

21、解：（Ⅰ）因为
，
，……………………………2分

所以
，解得
或
（舍去）. ………………………………………3分

因为
，所以
，切点为
，

所以
的方程为
.………………………5分

（Ⅱ）由
得，
，
，

又
，所以
，
.…………………………2分

令
（