平顶山市2016届高三年级第二次调研考试

高三文科数学

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上．

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号，写在本试卷上无效．

3．回答第Ⅱ卷时，将答案答在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合A＝{0，1}，集合B＝{x｜x＞a}，若A∩B＝
，则实数a的范围是

A．a≤1 B．a≥1 C．a≥0 D．a≤0

2．复数z满足z·i＝3－i，则在复平面内，复数z对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．关于函数f（x）＝
和g（x）＝
，下列说法中正确的是

A．都是奇函数 B．都是偶函数

C．函数f（x）的值域为R D．函数g（x）的值域为R

4．如右图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是

A．
B．

C．
D．

5．等差数列{
}的公差为3，若a2，a4，a6成等比数列，

则{
}的前2n项
＝

A．3n（2n－1） B．3n（2n＋1）

C．
D．

6．4sin40°－tan40°的值为

A．
B．
C．
D．2
－1

7．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l
α，m
β．下列命题正确的是

A．若l∥β，则α∥β． B．若α⊥β，则l⊥m．

C．若l⊥β，则α⊥β． D．若α∥β，则l∥m．

8．在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）如下图所示：

若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数为

A．3 B．4 C．5 D．6

9．已知点E（－
，0），动点A，B均在抛物线C：
（p＞0）上，若
·
的

最小值为

A．－
B．－
C．0 D．2p

10．函数y＝a＋sinbx（b＞0且b≠1）的图象如图所示，那么函数y＝
的图象可

能是

11．已知双曲线
（a＞0，b＞0）的一个焦点为F（2，0），且双曲线的渐近线与

圆
相切，则双曲线的方程为

A．
B．
C．
D．

12．设函数f（x）＝
，若f（f（
））＝4，则b等于

A．1 B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第2l题为必考题，每个试题考生都必答．第22题～24题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知平面向量a与b的夹角为
，｜a｜＝
，｜b｜＝1，则｜a－b｜＝________．

14．满足的约束条件
，则z＝x＋2y的最大值为_____________．

15．如果a，b满足ab＝a＋b＋3，那么ab的取值范围是______________

16．椭圆
（a＞b＞0）的右焦点F（c，0）关于直线y＝
x的对称点M在椭圆上，则椭圆的离心率是____________．

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线

段AC上，且AD＝4DC．

（Ⅰ）求BD的长；

（Ⅱ）求sin∠CBD的值．

18．（本小题满分12分）

我市为了了解本市高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试，将所得数据进行分组，分组区间为：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并绘制出频率分布直方图，如图所示．

（Ⅰ）求频率分布直方图中的a值；从该市随机选取一名学生，试估计这名学生参加考试 的成绩低于90分的概率；

（Ⅱ）设A，B，C三名学生的考试成绩在区间[80，90）内，M，N两名学生的考试成绩在区间[60，70）内，现从这5名学生中任选两人参加座谈会，求学生M，N至少有一人被选中的概率；

（Ⅲ）试估计样本的中位数落在哪个分组

区间内（只需写出结论）．

（注：将频率视为相应的概率）

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，

侧面SBC是正三角形，点E是SB的中点，且AE⊥平面SBC．

（Ⅰ）证明SD∥平面ACE；

（Ⅱ）若AB⊥AS，BC＝2，求点S到平面ABC的距离．

20．（本小题满分12分）

已知圆C的圆心为C（m，0），m＜3，半径为
，圆C与离心率e＞
的椭圆E：
（a＞b＞0）的其中一个公共点为A (3，1)，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点．

（Ⅰ）求圆C的标准方程；

（Ⅱ）若点P的坐标为（4，4），试探究直线PF1与圆C能否相切，若能，求出椭圆E和直线PF1的方程；若不能，请说明理由．

2l．（本小题满分12分）

已知函数f（x）＝lnx－ax＋
（a，b∈R），且对任意x＞0，都有f（x）＋f（
）＝0．

（Ⅰ）求a，b的关系式；

（Ⅱ）若f（x）存在两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求a的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明f（
）＞0，并指出函数y＝f（x）零点的个数（要求说明理由）．

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

22．（本小题满分10分）选修4—1;几何证明选讲

如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线

PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的

中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：

（Ⅰ）∠EBC＝∠BCE;

（Ⅱ）AD·DE＝2PB2．

23．（本小题满分10分）选修4—4：极坐标与参数方程

在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的参数方程为
（t为参数），P点的极坐标为（2，π），曲线C的极坐标方程为ρcos2θ＝sinθ．

（Ⅰ）试将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并求曲线C的焦点坐标；

（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于两点A，B，点M为AB的中点，求｜PM｜的值．

24．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲

设函数f（x）＝｜2x＋1｜－｜x－4｜．

（Ⅰ）解不等式：f（x）＞0；

（Ⅱ）若f（x）＋3｜x－4｜≥m对一切实数x均成立，求m的取值范围．

平顶山市2016届高三第二次调研考试

文科数学答案

一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．

（1）．B （2）．C （3）．C （4）．D （5）．B （6）．A （7）．C （8）．B （9）．C （10）．C （11）．D （12）．B

二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分．

（13）．1 ；（14）．7； （15）．
或
； （16）．
．

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

（17）．解：（Ⅰ）因为
，
，
，

所以
，
，
， ………………… 3分

又因为
，所以
，
. ………………… 4分

在
中，由余弦定理，

得
………………… 7分

，

所以
. ………………… 9分

（Ⅱ）在
中，由正弦定理，得
，

所以
， ………………… 10分

所以
. ………………… 12分

（18）．解：（Ⅰ）
………1分

估计这名学生参加考试的成绩低于90分的概率为1-0.15=0.85 …………………3分

（Ⅱ）从这5位学生代表中任选两人的所有选法共10种，分别为：AB，AC ，AM，AN，BC，BM，BN，CM，CN，MN．代表M，N至少有一人被选中的选法共7种，分别为： AM，AN，BM，BN，CM，CN，MN．

设“学生代表M，N至少有一人被选中”为事件D，

． …………………10分

答：学生代表M，N至少有一人被选中的概率为
．

（Ⅲ）样本的中位数落在分组区间[70,80)内．…………………12分

（19）．解：

（20）．解：（1）由已知可设圆
的方程为
， ………………1分

将点
的坐标代入圆
的方程，得
，

即
，解得
或
，

，
． ………………2分

圆
的方程为
． ………………3分

(2)直线
与圆
相切，依题意设直线
的方程为
，

即
， ………………4分

若直线
与圆
相切，则
． ………………5分

,解得
或
． ………………6分

当
时，直线
与
轴的交点横坐标为
，不合题意，舍去．………………7分

当
时，直线
与
轴的交点横坐标为
， ………………8分

，
，
． ………………9分

由椭圆的定义得
，…………10分

，
，故直线
能与圆
相切．………………11分

直线
的方程为
，椭圆
的方程为
．………………12分

（21）．解：（Ⅰ）

（22）．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

（23）．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

解：解：（Ⅰ）把
代入
，可得曲线
的直角坐标方程为
，它是开口向上的抛物线，焦点坐标为
.

（Ⅱ）点
的直角坐标为
，它在直线
上，在直线
的参数方程中，

设点
对应的参数为

由题意可知
.

把直线
的参数方程代入抛物线的直角坐标方程，得
.

因为

所以

（24）．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲

解：（1）当
时,
,得
,

所以
成立. ………………2分

当
时，
,得
，

所以
成立. ………………4分

当
时,
,得
,

所以
成立. ………………6分

综上，原不等式的解集为
………………7分

（2）

………………9分

当
所以
………………10分

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