河南省八市重点高中2016届高三第三次质量检测

理 科 数 学

注意事项：

1．本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．

2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置．

3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效．

4．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．定义A·B＝{x｜x∈A或x∈B，但x
A∩B}．已知M＝{y｜y＝
}，N＝{x｜
≤

2}，则M·N＝

A．[0，1） ∪（2，＋∞） B．（－∞，
]∪[1，2]

C．[
，1）∪[2，＋∞） D．[1，2）

2．若复数z满足（1＋2i）·z＝｜2－i｜，则
＝

A．1＋2i B．
（1－2i） C．
（1＋2i） D．
（1－2i）

3．已知命题p：
∈（0，＋∞），x≥lnx＋1；命题q：
[0，＋∞），sinx＞x，则下列结论正确的是

A．p∧q是真命题

B．
∨q是真命题

C．
是假命题

D．p∧
是真命题

4．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积

是

A．3＋
B．2＋

C．2＋
D．3＋

5．已知O为直角坐标原点，点A（2，3），点P为平面

区域
（m＞0）内的一动点．若

·
的最小值为－6，则m＝

A．1 B．

C．
D．

6．执行如图所示的程序框图，则输出的k为

A．3 B．4

C．5 D．6

7．已知函数f（x）＝ln（x＋m）的图象与g（x）的图象关于x＋y＝0对称，且g（0）＋

g（－ln2）＝1，则m＝

A．1 B．－1 C．2 D．－2

8．已知数列{
}（a＞0且a≠1）是首项为2，公差为1的等差数列，若数列{
}是递增数列，且满足
＝
，则实数a的取值范围是

A．（
，1） B．（2，＋∞）

C．（
，1）∪（1，＋∞） D．（0，
）∪（1，＋∞）

9．已知F1，F2为双曲线C：
（b＞0）的左、右焦点，点M是双曲线C左支上的一点，直线MF2垂直双曲线的一条渐近线于点N，且N为线段MF2的中点，则b＝

A．
B．2 C．
D．3

10．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°,点O是△ABC所在平面内一点，且｜
｜＝1，
·
＝1，
·
＝
，则｜
＋
＋
｜的最小值为

A．
B．
C．
D．3

11．已知三棱柱ABC－A1B1C1，所有棱长都为2，顶点B1在底面ABC内的射影是△ABC的中心，则四面体A1－ABC，B1－ABC，C1－ABC公共部分的体积为

A．
B．
C．
D．

12．已知函数f（x）＝（3x＋1）
＋kx（k≥－2），若存在唯一整数m，使f（m）≤0，则实数k的取值范围是

A．（
，2] B．[
，2） C．（－
，－
] D．[－2,－
）

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作

答．第22题～第24题为选考题．考生根据要求作答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．直线y＝x与抛物线y＝2－
所围成的图形面积为__________．

14．某校运动会上高一（1）班7名运动员报名参加4项比赛，每个项目至少有一人参加且每人只能报一个项目，其中A，B两名运动员报同一项目，则不同的报名种数共有_______种．

15．已知正项数列{
}，
＝2，(
＋1)
＝1，
＝
，则
＋
＝________．

16．已知O是锐角△ABC的外心，B＝30°，若

＋

＝λ
，则λ＝_________．

三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
－sinB·sinC＝
．

（Ⅰ）求A；

（Ⅱ）若a＝4，求△ABC面积的最大值．

18．（本小题满分12分）

设A市120急救中心与B小区之间开120急救车所用时间为X分钟（单程），所用时间只与道路畅通状况有关，取容量为50的样本进行统计分析，如下表：

X（分钟）

25

30

35

40



频数

6

19

15

10



 （Ⅰ）求X的分布列及其数学期望；

（Ⅱ）若A市120急救中心接到来自B小区的急救电话后准备接病人进行救护．若从小 区接病人上急救车大约需要5分钟时间，求急救车从急救中心出发接上病人返回到急救中心不超过75分钟的概率．

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，

△PAD是等边三角形，四边形ABCD为平行四边形，

∠ADC＝120°,AB＝2AD．

（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PBD；

（Ⅱ）求二面角A－PB－C的余弦值．

20．（本小题满分12分）

已知抛物线C1：
（p＞0）的焦点为F，点
与F关于x轴对称，直线l：y＝2与抛物线C1相交于A，B两点，与y轴相交于M点，且
·
＝－5．

（Ⅰ）求抛物线C1的方程；

（Ⅱ）若以
，F为焦点的椭圆C2过点（
，
）．

①求椭圆C2的方程；

②过点F的直线与椭圆C2相交于P，Q两点，且
＝2
，求｜
＋
｜的值．

21．（本小题满分12分）

已知f（x）＝ln（mx＋1）－2（m≠0）．

（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）若m＞0，g（x）＝f（x）＋
存在两个极值点x1，x2，且g（x1）＋g（x2）＜0，求m的取值范围．

请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，PA为半径为1的⊙O的切线，A为切点，圆

心O在割线PD上，割线PD与⊙O相交于C，

AB⊥CD于E，PA＝
．

（Ⅰ）求证：AP·ED＝PD·AE；

（Ⅱ）若AP∥BD，求△ABD的面积．

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

已知曲线C1的参数方程为
（α为参数），曲线C2的极坐标方程为

ρ2（
＋4
）＝4．

（Ⅰ）求曲线C1与曲线C2的普通方程；

（Ⅱ）若A为曲线C1上任意一点，B为曲线C2上的任意一点，求｜AB｜的最小值．

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数f（x）＝2｜x＋a｜－｜x－1｜（a＞0）．

（Ⅰ）若函数f（x）与x轴围成的三角形面积的最小值为4，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）对任意的x∈R都有f（x）＋2≥0，求实数a的取值范围．

河南省八市重点高中质量检测试题

理科数学参考答案及评分标准

一、选择题（每小题5分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

C

D

B

 C

B

C

D

B

A

A

D



二、填空题（每小题5分）

13．
14．1560 15．
16．1

三、解答题

17.解：（I）由
，

得
， ……………………2分

所以
. ……………………4分

所以
，即
. ……………………6分

（Ⅱ）由余弦定理
，得
，当且仅当
时取等，即
. ……………………10分

所以
.

所以
面积的最大值为
. ……………………12分

18.解：（I）由频率估计概率得
的分布列

（分钟）

25

30

35

40





0.12

0.38

0.3

0.2



 ……………………3分

所以
（分钟）. …………6分

（Ⅱ）设
分别表示往返所需时间，
的取值相互独立且与
的分布列相同，

设事件
“表示病人接到急救中心所需时间不超过75分钟”，由于从小区接病人上急救车大约需要5分钟时间，所以事件
对应“接病人在途中所用时间不超过70分钟”，即

所以
. ……………………12分

19.（I）证明：

在平行四边形
中,令
,则

，

在
中,
，

所以
. ……………3分

又平面
平面
，

所以
平面
.

所以平面
平面
. ……………6分

（II）由（I）得
，以
为空间直角原点，

建立空间直角坐标系
，如图所示，

……………7分

令
，

,

设平面
的法向量为
，则

得
令
，得
，

所以平面
的法向量为
； ……………………9分

设平面
的法向量为
，

即
令
，得
，

所以平面
的法向量为
. ……………………11分

所以
，

所以所求二面角
的余弦值为
. ……………………12分

20.解：（I）由已知得
，
，
，……………1分

所以
.

即

，得
，

所以抛物线
. ……………………4分

（Ⅱ）由（I）得
，
，且椭圆
过点
,

①设椭圆
：
，