河北省邯郸市第一中学2016届高三下学期研七考试

数学（理）试题

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设复数
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．设全集
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

3．运行如图所示的程序框图，输出的
等于（ ）

A．27 B．28 C．29 D．30

4．一几何体的三视图如图所示，则它的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．

5．已知
是首项为1的等比数列，
是
的前
项和，且
，则数列
的前5项和为（ ）

A．
B．
C．
D．

6．已知
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

8．经过点
，渐近线与圆
相切的双曲线的标准方程为（ ）

A．
B．
C．
D．

9．边界在直线
及曲线
上的封闭的图形的面积为（ ）

A．1 B．2 C．
D．

10．
展开式中的常数项是（ ）

A．
B．18 C．20 D．0

11．用1、2、3、4、5、6组成一个无重复数字的六位数，要求三个奇数1、3、5有且只有两个相邻，则不同的排法种数为（ ）

A．18 B．108 C．216 D．432

12．已知函数
，设两曲线
有公共点，且在该点处的切线相同，则
时，实数
的最大值是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在题中横线上．

13．若向量
，则向量
与
的夹角的余弦值为______．

14．
为椭圆
上一点，
为两焦点，
，则椭圆
的离心率
______．

15．球
面上四点
、
、
、
满足：
、
、
两两垂直，
，则球
的表面积等于______．

16．如图，在圆内：画1条弦，把圆分成2部分；画2条相交的弦，把圆分成4部分；画3条两两相交的弦，把圆最多分成7部分；…，画
条两两相交的弦，把圆最多分成______部分．

三、解答题：本大题共70分．其中17-21题为必考题，22，23，24题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

已知
满足
．

（1）将
表示为
的函数
，并求
的单调递增区间；

（2）已知
三个内角
的对边分别为
，若
，且
，求
面积的最大值．

18．（本小题满分12分）

某校学习小组开展“学生语文成绩与外语成绩的关系”的课题研究，对该校高二年级800名学生上学期期末语文和外语成绩，按优秀和不优秀分类可得：语文和外语都优秀的有60人，语文成绩优秀但外语不优秀的有140人，外语成绩优秀但语文不优秀的有100人．

（1）能否在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生的语文成绩与外语成绩有关系？

（2）将上述调查所得到的频率视为概率，从该校高二年级学生成绩中，有放回地随机抽取3名学生的成绩，记抽取的3个成绩中语文、外语两科成绩至少有一科优秀的个数为
，求
的分布列和期望
．

附：

0.010

0.005

0.001





6.635

7.879

10.828



19．（本小题满分12分）

如图1，在等腰梯形
中，
为
上一点，
．将梯形
沿
折成直二面角
，如图2所示．

（1）求证：平面
平面
；

（2）设点
关于点
的对称点为
，点
在
所在平面内，且直线
与平面
所成的角为
，试求出点
到点
的最短距离．

20．（本小题满分12分）

已知
、
分别是直线
和
上的两个动点，线段
的长为
，
是
的中点．

（1）求动点
的轨迹
的方程；

（2）过点
作与
轴不垂直的直线
，交曲线
于
、
两点，若在线段
上存在点
，使得以
、
为邻边的平行四边形是菱形，试求
的取值范围．

21．（本小题满分12分）

已知函数
．

（1）若函数
在
上是减函数，求实数
的取值范围；

（2）令
，是否存在实数
，当
（
是自然常数）时，函数
的最小值是3，若存在，求出
的值；若不存在，说明理由；

（3）当
时，证明：
．

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图所示，
为
的直径，
为
的中点，
为
的中点．

（1）求证：
；

（2）求证：
．

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知直线
（
为参数）经过椭圆
（
为参数）的左焦点
．

（1）求
的值；

（2）设直线
与椭圆
交于
两点，求
的最大值和最小值．

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知
．

（1）当
时，解不等式
；

（2）若
恒成立，求
的取值范围．

河北省邯郸市第一中学2016届高三下学期研七考试

数学（理）试题参考答案

一、选择题

1-5：BBCDB 6-10：CBCCC 11-12：DD

二、填空题

13．
14．
15．
16．

三．解答题

17．解：（1）
，所以
， ………………3分

（2）
，∴
，

又
，∴
，∴
． ………………8分

在
中由余弦定理有，

可知
（当且仅当
时取等号），

∴
，即
面积的最大值为
． ………………12分

18．解：（1）由题意得列联表：

语文优秀

语文不优秀

总计



外语优秀

60

100

160



外语不优秀

140

500

640



总计

200

600

800



因为
，

所以能在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生母语对于学习和掌握一门外语有关系．…………6分

（2）由已知数据，语文、外语两科成绩至少一科为优秀的概率是
．

则
．

的分布列为

0

1

2

3
















． ………………12分

19．解：（1）在图1中，由平面几何知识易得
，

在图2中，∵
，∴
是二面角
的平面角，

∵二面角
是直二面角，∴
．

∵
，
平面
，∴
平面
，

又
平面
，∴平面
平面
． ………………4分

（2）由（1）知
两两互相垂直，以
为原点，分别以
为
轴，建立空间直角坐标系
，如图所示． ………………6分

则
，
，
，
，
，
，

，
．

设平面
的一个法向量为
，

则
，即
．取
，得
． ………………8分

设
，则
．

∵直线
与平面
所成的角为
，

∴
，即
，化简得
，

从而有
，

所以，当
时，
取得最小值
．即点
到点
的最短距离为
． ………………12分

20．解：（1）设
．

∵
是线段
的中点，∴
．

∵
，∴
，∴
．

化简得点
的轨迹
的方程为
． ………………5分

（2）设
，代入椭圆
，得

，∴
，∴
．………………7分

∴
中点
的坐标为
．

∵以