冀州中学2015-2016下学期开学考试（文）数学

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．

1．已知集合
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．已知复数
，则
=（ ）A．2
B．
C．2 D．

3．已知
，命题
，
，则（ ）

A．
是假命题，
B．
是假命题，

C．
是真命题，
D．
是真命题，

4．设
是等差数列，
是其前
项和，且
，
，则下列结论错误的是（ ）

A．
B．
C．
D．
与
均为
的最大值

5．若偶函数
在
上单调递减，
，
，
，则
满足（ ）A．
B．
C．
D．

6．已知正数
满足
，则
的最小值为（ ）

A．2 B．0 C．
D．

7．在等腰
中，
，
，
（ ）

A．
B．
C．
D．

8．要得到函数
的图象，只需将函数
的图象（ ）

A．向左平移
个单位长度 B．向右平移
个单位长度

C．向左平移
个单位长度 D．向右平移
个单位长度

9．已知某几何体的三视图的侧视图是一个正三角形，

如图所示，则该几何体的表面积等于（ ）

A．
B．

C．
D．

10．函数
且
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

11．点
从点
出发，按逆时针方向沿周长为
的图形运动一周，
两点连线的距离
与点
走过的路程
的函数关系如图，那么点
所走的图形是（ ）

12．函数
对

满足
，下列不等式成立的是（ ）A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．

13．已知平面直角坐标系中，角
终边过点
，则
的值为 ．

14．已知向量
，
，且
，则实数
等于 ．

15．函数
在
上最大值是7，则指数函数
在
上最大值与最小值和为 ．

16．形如
的分数的分解：
，
，
，

按此规律，

．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．在等比数列
中，公比
，
，前三项和
．

（1）求数列
的通项公式；

（2）设
，
，求数列
的前
项和
．

18.为了了解某次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数，满分为100分)作为样本进行统计。按照[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100)的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出得分在[50，60)，[90，100)的数据)。

（I）求样本容量n和频率分布直方图中的x，y的值；

（II）分数在[80，90）的学生中，男生有2人，现从该组抽取三人“座谈”，写出基本事件空间并求至少有两名女生的概率。

19．如图，已知长方形
中，
，
，
为
的中点．将
沿
折起，使得平面
平面
．

（1）求证：
；

（2）若点
是线段
上的一动点，问点
在何位置时，三棱锥
的体积与

四棱锥
的体积之比为
？

20.已知椭圆的长轴长与焦距比为2：1，左焦点F(-2，0)，一定点为P(-8，0)．

(I)求椭圆E的标准方程；

(Ⅱ)过P的直线与椭圆交于P1，P2两点，求△P1P2F面积的最大值及此时直线的斜率

21．已知函数
．

（1）若直线
与
的反函数的图象相切，求实数
的值；

（2）若
，讨论函数
零点的个数．

请考生在第22、23题中任选一题做答．答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．

22．已知曲线
的极坐标方程为
，曲线
（
为参数）．

（1）求曲线
的普通方程；

（2）若点
在曲线
上运动，试求出
到曲线
的距离的最小值．

23．已知函数
，且满足

的解集不是空集．

（1）求实数
的取值范围；

（2）求
的最小值．

冀州中学2015-2016下学期开学考试（文）数答案

一、选择题 BBDCB DDCAA CA

二、填空题

；
； 9；

三、解答题

17．(Ⅰ)
时，
；

得

……………6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)中,
,
…………8分

∴
………………10分

∴
……12分

18.

19．(Ⅰ) 证明：∵长方形ABCD中，AB=
，AD=
，M为DC的中点，

∴AM=BM=2，∴BM⊥AM. ………………2分

∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM
平面ABCM

∴BM⊥平面ADM ∵AD
平面ADM ∴AD⊥BM ………………6分

(Ⅱ)E为DB的中点． ………………7分

………………12分

20.

21．(Ⅰ)
的反函数为
设切点为

则切线斜率为
故
………………4分

(Ⅱ) 函数
的零点的个数即是方程
根的个数，

等价于两个函数
与函数
图象交点的个数．

在
(2， +∞)上单调递增；
在(0，2)上单调递减;

∴
在
上有最小值为
.………………8分

当
时，函数
与函数
图象交点的个数为1；

当
时，函数
与函数
图象交点的个数为2；

当
时，曲函数
与函数
图象交点的个数为3. ………12分

其中
………8分

时，
，………9分

此时
………10分

23．(Ⅰ)要
的解集不是空集，则
+10 …2分

………5分

(Ⅱ)
时，
………7分

当且仅当
，即
时等号成立。 ………9分

所以
的最小值为3 ………10分

法二：求导（略）.

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