河北省邯郸市第一中学2016届高三下学期研七考试

数学（文）试题

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合
，若
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．设
，则
是
成立的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．已知角
的顶点在原点，始边与
轴正半轴重合，终边过点
，且
，则
的范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

5．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．

6．在
中，若点
满足
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

7．函数
的图象与
轴的交点的横坐标构成一个公差为
的等差数列，要得到函数
的图象，只需将
的图象（ ）

A．向左平移
B．向左平移
C．向左平移
D．向右平移

8．若下框图所给的程序运行结果为
，那么判断框中应填入的关于
的条件是（ ）

A．
B．
C．
D．

9．已知函数
，若
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

10．已知函数
在其定义域内的一个子区间
内不是单调函数，则实数
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

11．设
为三角形
三边长，
，若
，则三角形
的形状为（ ）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定

12．已知点
为双曲线
右支上一点，
分别为双曲线的左右焦点，且
为三角形
的内心，若
成立，则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．若复数
（其中
为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数
______．

14．已知
，实数
满足
若
的最大值为2，则实数
______．

15．顶点在原点，经过圆
的圆心且准线与
轴垂直的抛物线方程为______．

16．设函数
在
内可导，且
，且
______．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．已知函数
．设
时
取得最大值．

（1）求
的最大值及
的值；

（2）在
中，内角
的对边分别为
，且
，求
的值．

18．根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．某城市环保部门随机抽取了一居民区去年20天PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：

组别

PM2.5浓度（微克/立方米）

频数（天）

频率



第一组



3

0.15



第二组



12

0.6



第三组



3

0.15



第四组



2

0.1



（1）从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的5天中，随机抽取2天，求恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率；

（2）求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由．

19．在如图所示的多面体
中，已知
是正三角形，
是
的中点．

（1）求证：
平面
；

（2）求直线
与平面
所成角的余弦值．

20．如图，已知圆
，圆
．

（1）若过点
的直线
被圆
截得的弦长为
，求直线
的方程；

（2）设动圆
同时平分圆
、圆
的周长．

①求证：动圆圆心
在一条定直线上运动；

②动圆
是否过定点？若过，求出定点的坐标；若不过，请说明理由．

21．已知函数
，其中
为常数．

（1）当
时，若
在区间
上的最大值为
，求
的值；

（2）当
时，若函数
存在零件，求实数
的取值范围．

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．选修4-1：几何证明选讲

如图，
是圆
的直径，
是圆
上两点，
与
相交于点
是圆
的切线，点
在
的延长线上，且
．

求证：（1）
四点共圆；

（2）
．

23．选修4-4：坐标系与参数方程

已知直线
的参数方程为
（
为参数），曲线
的极坐标方程为
．

（1）求曲线
的普通方程；

（2）求直线
被曲线
截得的弦长．

24．选修4-5：不等式选讲

已知函数
．

（1）求不等式
的解集；

（2）若关于
的不等式
恒成立，求实数
的取值范围．

河北省邯郸市第一中学2016届高三下学期研七考试

数学（文）试题参考答案

一、选择题

1-5：BACAA 6-10：DADCD 11-12：BD

二、填空题

13．
14．1 15．
16．

三、解答题

17．解：（1）由题意，
．

又
，则
．

故当
，即
时，
．

18．解：（1）抽取的2天恰有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米为事件
，设PM2.5的24小时平均浓度在
内的三天记为
，PM2.5的24小时平均浓度在
内的两天记为
．

所以5天任取2天的情况有：

其中符合条件的有6种，所以所求的概率
．

（2）去年该居民区PM2.5年平均浓度为：

（微克/立方米）．

因为
，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进．

19．解：（1）如图，取
的中点
，连接
，因
为
的中点，所以
，又
，所以
，四边形
为平行四边形．

所以
，因为
平面
平面
，所以
平面
．

（2）因为
是正三角形，所以
，在
中，
，所以
，故
，又
，所以
平面
．

取
的中点
，连接
，则
，又
，所以
，又
，所以
平面
，所以
是直线
与平面
所成的角．

在
中，
，所以
．

20．解：（1）由题意可知
，

由图知直线
的斜率一定存在，设直线
的方程为
，即

因为直线
被圆
截得的弦长为
，所以圆心
到直线
的距离为

解得
或
，所以直线
的方程为
或
．

（2）①证明：设动圆圆心
，由题可知

则

化简得
，所以动圆圆心
在定直线
上运动．

②动圆
过定点

设
，则动圆
的半径为

动圆
的方程为

整理得

，解得
或

所以动圆
过定点
和
．

21．解（1）由题意
，令
解得

因为
，所以
，

由
解得
，由
解得

从而
的单调递增区间为
，减区间为

所以，
，解得
．

（2）函数
存在零点，即方程
有实数根，

由已知，函数
的定义域为
，当
时，
，所以
，

当
时，
；当