陕州中学2015-2016学年下期高三尖子生专题训练（三）

数学试卷

试卷满分：150分 考试时间：120分钟

第Ⅰ卷

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.若
（i为虚数单位），则z的共轭复数是

A.
B.
C.
D.

2.已知命题
：“
”是“
”成立的必要不充分条件；命题
：若函数
为偶函数，则函数
的图象关于直线
对称，则下列命题为真命题的是

（A）
（B）
（C）
（D）

3.已知数列
满足

，且
，则
＝

（A）
（B）5 （C）－5 （D）

4.函数

的图象恒过定点
，若点
在直线
上，其中
，则
的最小值为

A．
B．
C．
D．

5.设等差数列
的前
项和为
，
且
，

当
取最大值时，
的值为

A.
　　 B.
C.
D.

6．执行如图所示的程序框图，输出的结果是

A．56 B．36

C．54 D．64

7.已知
外接圆的圆心为
，
，
，

为钝角，
是
边的中点，则

A．
　　 B．
　　 C．　
　 D．

8.在
中，
分别是角
所对的边长，
，
，
. 则

（A）
（B）
（C）
（D）

9.已知
分别是双曲线
（
）的两个焦点，
和
是以
（
是平面直角坐标系的原点）为圆心，以
为半径的圆与该双曲线的左支的两个交点，且
是等边三角形，则双曲线的离心率为

（A）
（B）
（C）
（D）

10.设
，且曲线
在
处的切线与
轴平行，且对

，
恒成立，则
的最小值为

（A）
（B）
（C）1 （D）

11.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，则该零件的表面积为（单位：cm
）

（A）

（B）

（C）

（D）

12. 已知函数
满足
，当
时，
，当
时，
，若定义在
上的函数
有三个不同的零点，则实数
的取值范围是

A.
　 B.
C.
D.

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分．

13.已知
，则
_______.

14.设不等式组
所表示的平面区域是
，平面区域
与
关于直线
对称．对于
中的任意点
与
中的任意点
，
的最小值为____________

15．在正三棱锥S—ABC中，AB＝
，M是SC的中点，AM⊥SB，则正三棱锥S－ABC外接球的球心到平面ABC的距离为____________．

16．已知数列{
}的前n项和为
，S1＝1，S2＝－
，且
－
＝3×
（n≥3），则
＝___________

三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.

17．（本小题满分12分） 已知函数
.

(1)求函数
的最小正周期和单调减区间；

(2) 已知
的三个内角
的对边分别为
，其中
，若锐角
满足
，且
，求
的面积.

18．（本小题满分12分）

随着智能手机等电子产品的普及，“低头族”正成为现代社会的一个流行词．在路上、在餐厅里、在公交车上，随处可见低头玩手机的人，这种“低头族现象”冲击了人们面对面交流的温情，也对人们的健康构成一定的影响．为此，某报社发起一项专题调查，记者随机采访了M名市民，得到这M名市民每人在一天内低头玩手机的时间（单位：小时），根据此数据作出频数的统计表和频率分布直方图如下：

分组

频数

频率



[0，0.5）

4

0.10



[0.5，1）

m

p



[1，1.5）

10

n



[1.5，2）

6

0.15



[2，2.5）

4

0.10



[2.5，3）

2

0.05



合计

M

1





（Ⅰ）求出表中的M，p及图中a的值；

（Ⅱ）试估计这M名市民在一天内低头玩手机的平均时间（同一组的数据用该组的中间值作代表）；

（Ⅲ）在所取样本中，从一天内低头玩手机的时间不少于2小时的市民中任取2人，求两人在一天内低头玩手机的时间都在区间[2，2.5）内的概率．

19．（本小题满分12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，

∠PAB=∠PAC=∠ACB=90°．

（1）求证：平面PBC⊥平面PAC；

（2）若PA=1，AB=2，BC=
，在直线AC上是否存在一点D，使得直线BD与平面PBC所成角为30°？若存在，求出CD的长；若不存在，说明理由．

20. （本小题满分12分） 椭圆
的左右焦点分别为
，
,且离心率为
,点
为椭圆上一动点，
内切圆面积的最大值为
.

(1)求椭圆的方程;

(2) 设椭圆的左顶点为
,过右焦点
的直线
与椭圆相交于
,
两点，连结
,
并延长交直线
分别于
，
两点，以
为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是,请说明理由.

21、（本小题满分12分） 已知函数

（1）若函数
依次在
处取得极值，求
的取值范围；

（2）若存在实数
，对任意的
，不等式
恒成立，求正整数
的最大值。

请考生在第（22）、（23）（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．

22、（本小题满分10分） 选修4-1 几何证明选讲

如图，AC是圆
的切线，A是切点，
于D，割线EC交圆
于B、C两点。

（1）证明：
四点共圆；

（2）设
，求
的大小。

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线l：
（t为参数）与曲线C：

（θ为参数）相交于不同的两点A，B．

（Ⅰ）若α＝
，求线段AB中点M的坐标：

（Ⅱ）若｜PA｜·｜PB｜＝｜OP｜2，其中P（2，
），求直线l的斜率．

24. （本小题满分10分）【选修4-5，不等式选讲】

设
，

（Ⅰ）若
的解集为
，求实数
的值；

（Ⅱ）当
时，若存在
，使得不等式
成立，

求实数m的取值范围.

高三数学参考答案

一．DDCDB CCBDA AD

10.解析：

因为曲线
在
处的切线与
轴平行，

∴
，即
，解得
时，有

∴当
和
上，
，在
上，
，所以
在
和
上单调递减，在
单调递增.所以，
在
上是增函数.

所以当
时，
，

对于任意的
，有
恒成立，

因为
，所以
，且
时
， 所以当

11.解析：如图所示，三棱锥
即为所求

12.【命题意图】本题是最近热点的函数图像辨析问题，是一道较为复杂的难题.

【试题解析】D 由题可知函数在
上的解析式为
，又由
可知
的图像关于
点对称，可将函数
在
上的大致图像呈现如图：

根据
的几何意义，
轴位置和图中直线位置为
表示直线的临界位置，其中
时，
，联立
，并令
，可求得
. 因此直线的斜率
的取值范围是
. 故选D.

二．13. -25 14. 4 15.

三．17．解：(1)

(3分) 因此
的最小正周期为
.

的单调递减区间为
，

即

. (6分)

(2) 由
，又
为锐角，则
. 由正弦定理可得
，
，

则
，

由余弦定理可知，
，

可求得
，故
. (12分)

18．（Ⅰ）0.7；（Ⅱ）1.225；（Ⅲ）

19．（1）可证BC⊥面PAC（2）在直线AC上存在点
，使得直线BD与平面PBC所成角为30°．

20.解：(1) 已知椭圆的离心率为
，不妨设
，
，即
，其中
，又△
内切圆面积取最大值
时，半径取最大值为
，由
，由
为定值，因此
也取得最大值，即点
为短轴端点，因此