2015-2016学年下期高三尖子生专题训练

（理科）数学试卷

试卷满分：150分

一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．)

1.为了得到函数
图象，只需把函数
图象上所有点

A.向右平行移动
个单位长度 B. 向右平行移动
个单位长度

C.向左平行移动
个单位长度 D. 向左平行移动
个单位长度

2．已知函数
的图象上相邻两个最高点的距离为
，若将函数
的图象向左平移
个单位长度后，所得图象关于
轴对称．则
的解析式为

A．
B．

C．
D．

3．已知
,
,则
的面积为

A.
B.
C.
D.

4、若先将函数
图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再将所得图象向左平移
个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是

A．
B．
C．
D．

5、在
中，
，
，
分别为角
，
，
的对边，且满足
，若
，则
的面积的最大值是

A.1 B.

C.2 D.

6.一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为

A.
B.

C.
D.

7.若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为
，则圆锥的体积为

A.

.

.

.

8. 右图是一个四面体的三视图，这三个视图均是腰长为2的等腰直角三角形，

正视图和俯视图的虚线是三角形的中线，则该四面体的体积为

A.
B.
C.
D.

9. 已知四面体ABCD的顶点A、B、C、D在空间直角坐标系中的坐标分别为(1,0,0)，(0,1,0)，

(0,0,1)，,－,，O为坐标原点，则在下列命题中，正确的是

A. OD⊥平面ABC B.直线OB∥平面ACD

C.直线AD与OB所成的角是45° D.二面角D－OB－A为45°

10、沿边长为1的正方形
的对角线
进行折叠，使折后两部分所在的平面互相垂直，则折后形成的空间四边形
，则它所构成的四面体
内切球的半径为

A、
B、
C、
D、1

11.在平行四边形
中，
,
,若将其沿
折成直二面角
,则三棱锥
的外接球的表面积为

A．
B.
C.
D.

12、三棱锥A－BCD的外接球为球O，球O的直径是AD，且△ABC、△BCD都是边长为1的等边三角形，则三棱锥A－BCD的体积是

A、
　　　　 B、
　　　 C、
　　　 D、

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写到答题卡的相应位置.

13、如图，网格纸是边长为1的小正方形，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则该多面体的体积为

14．利用一个球体毛坯切削后得到一个四棱锥
,其中底面四边形
是边长为
的正方形，
，且
平面
,则球体毛坯体积的最小值应为 ．

15已知某棱锥的三视图如图所示，俯视图为正方形，根据

图中所给的数据，那么该棱锥外接球的体积是__________.

16.
的三个内角为
，若
，则
的最大值为________.

三、解答题：（本大题共6小题，满分75分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）

17. (本小题满分10分)

设
的内角
所对的边长分别为
,且
．（1）求角
的大小； （2）若
，
边上的中线
的长为
，求
的面积．

18．(本小题满分12分) 已知

求f(x)的最小正周期及对称轴方程；

已知锐角
的内角
的对边分别为
,且
,
,求
边上的高的最大值.

19. （本小题满分12分）

已知向量
，函数
.

（1）若
，求
的值；

（2）在
中，角A,B,C对边分别是
，且满足
，求
的取值范围.

20. （本小题满分12分）

在如图所示的空间几何体中，平面
平面ABC，
是边长为2的等边三角形，
和平面ABC所成的角为60°，且点E在平面ABC上的射影落在
的平分线上.

（1）求证：DE//平面ABC；

（2）求二面角
的余弦值。.

21、（本小题满分12分）

已知三棱柱ABC－A1B1C1的底面为等腰三角形，且平面B1BCC1⊥平面ABC，C1B⊥BC，M是线段AB上的点，且∠ACM＝∠BCM＝60°，CA＝CB＝
C1B。

（I）求证：CM⊥AC1；

（II）求直线CC1与平面B1CM所成角的正弦值。

22．（本小题满分12分）

如图1四边形
中，
是
的中点，

将

图1沿直线
折起，使得二面角

为
．如图2．

（1）求证：
平面
；

（2）求直线
与平面
所成角的余弦值．

高三理数参考答案

一．DCBDB ACAAB CA

二、13．
14.
15.
16.

三17.解：（Ⅰ）∵
，∴
．即
则
，则
． …………5分

（Ⅱ）由（1）知
，所以，
，

设
， 在
中由余弦定理得

解得
,故
…………10分

18、解


整理得
， …
分
，

对称轴方程为：
…
分

，由余弦定理及基本不等式可知
，

此时
…
分

19. 解：(1)

-----2分

-------------4分

--------------------------6分

（2）由
，得

-------8分
-------9分

------------------10分 从而得

故
----------------------12分

20.证明：（1）由题意知，△ABC，△ACD都是边长为2的等边三角形，

取AC中点O，连接BO，DO，则BO⊥AC，DO⊥AC.........2分

又∵平面ACD⊥平面ABC，∴DO⊥平面ABC，作EF⊥平面ABC，

那么EF∥DO，根据题意，点F落在BO上，

∵BE和平面ABC所成的角为60°，∴∠EBF=60°，

∵BE=2，∴
， .....4分

∴四边形DEFO是平行四边形，∴DE∥OF，

∵DE不包含于平面ABC，OF?平面ABC，∴DE∥平面ABC．............6分

(2)以OA,OB,OD为x轴，y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，

B（0，
，0），C（﹣1，0，0），E（0，
，
），

∴
=（﹣1，﹣
，0），
=（0，﹣1，
），

平面ABC的一个法向量为

设平面BCE的一个法向量为

则
，∴
，∴
.............9分

所以
，又由图知，所求二面角的平面角是锐角，

二面角E﹣BC﹣A的余弦值为
． ...................12分

22．（本小题满分12分）

（1）证明：取
中点
，连结
，则

由余弦定理知
，∵
，∴

又
平面
，
平面
，∴

又∵
∴
平面
………6分

（2）以
为原点建立如图示的空间直角坐标系，

则

设平面
的法向量为
，由
，得
∵
，∴

故直线
与平面
所成角的余弦值为
………12分

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