河南省八市重点高中2016届高三第三次质量检测

文 科 数 学

注意事项：

1．本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．

2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置．

3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效．

4．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合A＝{x｜x＝3n－1，n∈Z},B＝{x｜y＝
}，则集合A∩B的元素个数为

A．2 B．3 C．4 D．5

2．已知a＝（x，1），b＝（－1，3）．若a∥b，则x＝

A．
B．一
C．3 D．一3

3．已知命题p：
∈R，sin（π－α）≠－sinα，命题q：
∈[0，＋∞），sinx＞x，则下面结论正确的是

A．
∨q是真命题 B．p∨q是真命题

C．
∧q是真命题 D．q是真命题

4．定义m
n＝
（m＞0，n＞0），已知数列{
}满足
＝
（n∈N*），若对任意正整数n，都有
≥
（
∈N*），则
的值为

A．3 B．
C．1 D．

5．存在函数f（x）满足对任意的x∈R都有

A．f（｜x｜）＝x＋1 B．f（
＋4x）＝｜x＋2｜

C．f（2
＋1）＝x D．f（cosx）＝

6．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是

A．3＋

B．2＋

C．2＋

D．3＋

7．已知O为直角坐标原点，点A（2，3），点P为平面

区域
（m＞0）内的一动点．若
·

的最小值为－6，则m＝

A．1 B．

C．
D．

8．执行如图所示的程序框图，则输出的k为

A．3

B．4

C．5

D．6

9．在△ABC中，已知
·
＝8，sinB＝cosA·sinC,S△ABC＝3，D为线段AB上的一点,且
＝m·
＋n·
，则mn的最大值为

A．1 B．
C．2 D．3

10．已知双曲线
（a＞0，b＞0），A（0，－b），B（0，b），P为双曲线上的一点，且｜AB｜＝｜BP｜，则双曲线离心率的取值范围是

A．[
，＋∞）B．（1，
] C．[
，＋∞）D．[
，＋∞）

11．定义在R上的函数f（x）满足f（x）＋
＜e，f（0）＝e＋2（其中e为自然对数的 底数）。则不等式
＞
＋2的解集为

A．（－∞，0） B．（－∞，e＋2）

C．（－∞，0）∪（e＋2，＋∞） D．（0，＋∞）

12．公差不为0的等差数列{
}的部分项
，
，
，…构成等比数列{
}，且n2＝2，n3＝6，n4＝22，则下列项中是数列{
}中的项是

A．a46 B．a89 C．a342 D．a387

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第24题为选考题．考生根据要求作答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分．

13．若复数z满足
（i为虚数单位），则z的模为___________．

14．已知A（0，1），B（－
，0），C（－
，2），则△ABC外接圆的圆心到直线y＝

－
x的距离为__________．

15．棱长为
的正方体ABCD－A1B1C1D1内切球O，以A为顶点，以平面B1CD1，被球O所截的圆面为底面的圆锥的侧面积为____________．

16．存在正数m，使得方程
sinx－cosx＝m的正根从小到大排成一个等差数列．若点A（1，m）在直线ax＋by－2＝0（a＞0，b＞0）上，则
＋
的最小值为__________．

三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
·cosA－sin（C－A）·sinA＋cos（B＋C）＝
，c＝2
．

（Ⅰ）求sinC；

（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．

18．（本小题满分12分）

某校在高三抽取了500名学生，记录了他们选修A、B、C三门课的选修情况，如下表：

（Ⅰ）试估计该校高三学生在A、B、C三门选修课中同时选修2门课的概率．

（Ⅱ）若该高三某学生已选修A，则该学生同时选修B、C中哪门的可能性大?

19．（本小题满分12分）

多面体ABCDEF中，四边形ABCD、四边形BDEF均

为正方形，且平面BDEF⊥平面ABCD，点G，H分别

为BF，AD的中点．

（Ⅰ）求证：GH∥平面AEF；

（Ⅱ）求直线EA与平面ACF所成角的正弦值．

20．（本小题满分12分）

已知椭圆C：
（a＞b＞0）的焦距为2
，且椭圆C过点A（1，
），

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若O是坐标原点，不经过原点的直线l：y＝kx＋m与椭圆交于两不同点P（x1，y1）， Q（x2，y2），且y1y2＝k2x1x2，求直线l的斜率k；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求△OPQ面积的最大值．

21．（本小题满分12分）

已知函数f（x）＝lnx＋m（x－1）2，（m∈R）

（Ⅰ）讨论函数f（x）极值点的个数；

（Ⅱ）若对任意的x∈[1，＋∞），f（x）≥0恒成立，求m的取值范围．

请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，PA为半径为1的⊙O的切线，A为切点，

圆心O在割线PD上，割线PD与⊙O相交于C，

AB⊥CD于E，PA＝
．

（Ⅰ）求证：AP·ED＝PD·AE；

（Ⅱ）若AP∥BD，求△ABD的面积．

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系．

已知曲线C1的参数方程为
（α为参数），曲线C2的极坐标方程为

ρ2（
＋4
）＝4．

（Ⅰ）求曲线C1与曲线C2的普通方程；

（Ⅱ）若A为曲线C1上任意一点，B为曲线C2上的任意一点，求｜AB｜的最小值．

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数f（x）＝2｜x＋a｜－｜x－1｜（a＞0）．

（Ⅰ）若函数f（x）与x轴围成的三角形面积的最小值为4，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）对任意的x∈R都有f（x）＋2≥0，求实数a的取值范围．

河南省八市重点高中质量检测试题

文科数学参考答案及评分标准

一、选择题（每小题5分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

B

A

C

B

B

C

B

B

D

A

C





二、填空题（每小题5分）

13．
14．
15．π 16．

三、解答题

17.解：（I）由
，得

. ……………………4分

即
. ……………………6分

（Ⅱ）由余弦定理
，得
.……9分

当且仅当a=b时取等，即
，

所以
.

所以
面积的最大值为
. ……………………12分

18.解：（I）由频率估计概率得
. ……………………6分

（Ⅱ）若某学生已选修A，则该学生同时选修B的概率估计为
.

选修C的概率估计为
，

即这位学生已选修A，估计该学生同时选修C的可能性大.

………………12分

19.证明：（I）取
的中点
，连结
,

又
为
的中点，

所以MH∥DE，
. ……………2分

在正方形
中，
为
的中点，

GF∥DE，
,

即MH∥GF，
.

所以四边形
为平行四边形. …………4分

即MH∥GF，
.

所以GH∥平面AEF. ……………………6分

（Ⅱ）令
,

设
交
于点
，连结
,

因为平面
平面
，四边形
,

四边形
为正方形，

所以
. ……………8分

所以
.

过
作
于
，所以
,

连结
，即
为直线
与平面
所成的角.……………………10分

在
中，

取
的中点为
，连结
,

,

所以
.

在
中，
,

即直线
与平面
所成角的正弦值为
. ……………………12分

20.解:（Ⅰ）由题意得
,可设椭圆方程为
,

则
，得
，

所以椭圆C的方程为
． ……………………4分

（Ⅱ）由
消去y得:
?，
，

???? ?故
.

又因为
，所以
?
.由于
故
,

所以直线l的斜率
. ……………………8分

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知直线l的方程为
,由对称性,不妨把直线方程

与椭圆方程
联立，消去y得:
.

, 得
.

设d为点O到直线l的距离,则
，

所以
.

?当且仅当
时，等号成立.

所以△OPQ面积的最大值为1． ……………………12分

21.解:（I）由已知得函数
的定义域为
，

， ……………………1分

令

当
时，
，此时
，函数
在
上单调递增，无极值点；……………………2分

当
时，
，

①当
时，
，

此时