河南省九校2016届高三下学期第一次联考

数学（文科）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

第I卷选择题（共60分）

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1.已知集合A={x|一1≤x<1}，B={y|y=
x+1，x∈A},则A
B=( )

A．[一1，
) B．[一1，
) C．[1，
] D．[
，1]

2．函数f(x)=
1sin 2x+
tan
cos2x的最小正周期为( )

A．
B.
C．2
D. 4

3．已知z为纯虚数，且(2+i)z= 1+ ai3（i为虚数单位），则

|a+z|=( )

A．1 B．
C.2 D．

4．“a=5”是“点(2，1)到直线x=a的距离为3”的( )

A.充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

5．某程序框图如右图所示，若输入p=2，则输出的结果是( )

A.2 B.3 C.4 D.5

6．某几何体的三视图如 图所示，其中俯视

图下半部分是半径为1的半圆，则该几何

体的表面积是( )

A. 20+2

B．20+

C．20 - 2

D．20-

7．如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，E，F分别为BC，CD的中点，G为EF中点，

则
=( )

A．
B．

C．
D．

8．函数f(x)= Asin（
的图象如图所

示，若
，则函数f(x)的解析式为( )

A．f(x)= 2sin(3x一
) B．f(x)= 2sin(3x+
)

C. f(x)= 2sin(2x+
) D.f(x)= 2sin(2x一
)

9．已知函数f(x)=
，若函数f (x)在R上有三个不同零点，

则a的取值范围是( )

A . [-3，+∞) B．(-∞，9)

C. [3，+∞) D．[9，+∞)

10. 如图ABCD -A1B1C1D1是边长为1的正方体，S- ABCD是

高为l的正四棱锥，若点S，A1，B1，Cl，D1在同一个球面上，

则该球的表面积为( )

A．
B．

C．
D．

11. 已知F为双曲线
=1(a>0，b>0)的左焦点，定点G(0，c)，若双曲线上存在一点P满足|PF|=|PG|,则双曲线的离心率的取值范围是

A. (
，+∞） B．（1，
） C．[
，+∞） D．（1，
）

12. 设A, B是函数f(x)定义域集合的两个子集，如果对任意xl∈A，都存在x2∈B，使得

f(x1)f(x2)=l，则称函数f(x)为定义在集合A，B上的“倒函数”，若函数f(x)=x2一
ax3

(a>0)，x∈R为定义在A=（2，+∞），B=（1，+∞）两个集合上的“倒函数”，则实数a

值范围是( )

A. (
，+∞） B．（0，
] C．[
，+∞） D．[
，
]

第Ⅱ卷非选择题（共90分）

二、填空题（每小题5分，共20分）

13．若函数f(x)=x+
+l为奇函数，则a= ．

14．设x，y满足约束条件
，则目标函数z=-x+2y的最小值是 ．

15.已知直线l：y=kx+t与圆x2 +(y+l)2 =1相切且与抛物线C：x2 =4y交于不同的

两点M．N，则实数t的取值范围是 .

16.如图，在Rt△ABC中，∠A= 90°，D，E分别是AC，BC

上一点，满足∠ADB= ∠CDE= 30°，BE= 4CE．若

CD=
，则△BDE的面积为 。

三、解答题（第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22～24题为选考题，考生根据要求作答，本大题共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17．（本小题满分12分）已知数列{bn}是首项为b1=1，公差d=3的等差数列，

bn=l一3log2 (2an)（n∈N*）．

(1)求证；{an}是等比数列；

(2)若数列{cn}满足cn=an·bn，求数列{cn}的前n项和Sn。

18．（本小题满分12分）随着旅游观念的转变和旅游业的发展，国民在旅游休闲方面的投入

不断增多，民众对旅游的需求也在不断提高．某村村委会统计了2011到2015年五年间

每年春节期间外出旅游的家庭数，具体统计数据如下表所示：

(1)从这5年中随机抽取两年，求外出旅游的家庭数至少有1年多于20个的概率；

(2)利用所给数据，求出春节期间外出旅游的家庭数与年份之间的回归直线方程
=bx+a，

并判断它们之间是正相关还是负相关；

(3)利用(2)中所求出的直线方程估计该村2018年在春节期间外出游泳的家庭数。

参考：用最小二乘法求线性回归方程系数公式

19.（本小题满分12分），

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D1E分别为BB1和CC1的

中点，AF⊥平面A1DE，其垂足F落在直线A1D上．

(1)求证：BC⊥A1D;

(2)若A1D=
，AB=BC=3, G为AC的中点，求三棱锥G--A1DB1的体积。

20.（本小题满分12分）

已知椭圆C：
(a>b>0)的四个顶点，P
是C上的一点所构成的菱形面积为6，且椭圆的焦点通过抛物线y=x2-8与x轴的交点．

(l)求椭圆C的方程；

(2)设直线l与椭圆C交于A，B两点，若AD⊥BD，且D(3，0)，求△ABD面积的最大值。

21．（本小题满分12分）已知函数f(x)=
x3一
(a+4)x2 +(3a+5)x一(2a+2)lnx．

(1)若a<-1，且F(x)=f(x)一
x3+
(a+5)x2- (2a+6)x，试讨论函数F(x)的单调性；

(2)已知g(x)=f'(x)+
，若不等式g(x)≥
lnx+ 3a+
对一切x∈(0，+∞）恒

成立，求实数a的取值范围。

【选考题】

请从下面所给的22，23，24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22.（本小题满分10分）【选修4-1：几何证明选讲】

如图，已知D为以AB为斜边的Rt△ABC的外接圆O上一点，CE⊥AB，BD交AC，

CE的交点分别为F，G，且G为BF中点，

(1)求证：BC=CD；

(2)过点C作圆O的切线交AD延长线于点H，

若AB=4，DH =1，求AD的长．

23．（本小题满分10分）【选修4-4:极坐标与参数方程选讲】

在直角坐标系xOy中，以坐标原点D为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系．己知直线l：ρ=一
，曲线C：
（a为参数）．

(l)将直线l化成直角方程，将曲线C化成极坐标方程：

(2)若将直线，向上平移m个单位后与曲线C相切，求m的值

24.（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】

已知函数f(x）= 2|x-1|-a，g(x)= -|2x+m|,a，m∈R，若关于x的不等式g(x)≥-1

的整数解有且仅有一个值为-3．

(l)求整数m的值：

(2)若函数y=f(x)的图象恒在函数y=
g(x)的上方，求实数a的取值范围．

数学（文科）参考答案

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．【答案】D

【解析】因为
，所以

，故选D．

2．【答案】B

【解析】因为
，所以最小正周期
，故选B．

3．【答案】D

【解析】设
，则
，即
，所以
，则
，故选D．

4．【答案】B

【解析】由点
到直线
的距离为3等价于
，解得
或
，所以“
”是“点
到直线
的距离为3”的充分不必要条件，故选B．

5．【答案】B

【解析】当
时，
，
；当
时，
；当
时，
，当
时，
，满足条件，所以输出的结果为3，故选B．

6．【答案】B

【解析】根据几何体三视图可知该几何题是一个正方体截去了半圆柱所得组合体，正方体的棱长为2，半圆柱的底面半径为1，则几何体的表面积为
，故选B．

7．【答案】C

【解析】由
为
中点，得
＝
＋
＝
＋
＝
，故选C．

8．【答案】C

【解析】由图象知
，
，根据图象设

，则根据三角函数的图象对称性知
，则
，所以
，
，于是由
，得
，解得
（舍去）或
，即
，所以
，
，于是由
，
，故函数
的解析式为
，故选C．

9．【答案】D

【解析】当
时，令
，求得
或
，即
在
上有两个不同的零点，则由题意知
在
有且仅有一个零点，则由
，得
，故选D．

10．【答案】D

【解析】按如图所示作辅助线，
为球心，设
，则
，同时由正方体的性质知
，则在
中，
，即
，解得
，所以球的半径
，所以球的表面积为
，故选D．

11．【答案】A

【解析】因为
，
，则由
，知点
在线段
的垂直平分线上，即点
在
上，则直线
与双曲线
有公共点，所以将
代入双曲线方程得
，则必有
，所以
，所以
，故选A．

12．【答案】D

【解析】
，则由
，得函数
增区间为
，减区间为
、
，则
，
，由此可知
的图象，如图所示．设集合
，
，则对任意
，都存在
，使得
等价于
，显然
．当
，即
时，
，不满足
；当
，即
，即
时，
，
．由于
，有
在
上的取值范围包含在
内，满足
；当
，即
时，有
，
在
上递减，所以
，
，不满足
．综上可知选D．

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每小题5分，共20分）

13．【答案】

【解析】因为
，所以由
，得
，即
．

14．【答案】8

【解析】画出满足约束条件的平面区域，如图所示，当平移直线
经过直线
与直线
的交点
时，目标函数
取得最小值，且最小值为
．

15．

【答案】

【解析】因为直线与圆相切，所以
．又把直线方程代入抛物线方程并整理得
，于是由
，得
或
．

16．

【答案】

【解析】过点
作
于
，如图所示．由
，知
，再由
，得
．设
，则
．又
，得
，
，
．于是勾股定理，得
．又由余弦定理，得
．又
，所以
，所以
，解得
或
（舍去），所以
＝
．

三、解答题 （第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～24题为选考题，考生根据要求作答，本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．

【答案】（1）见解析；（2）
．

【解析】（1）由题意
，……………2分

则由
，得
，则
，

所以

，……………4分

故数列
是首项为
，公比为
的等比数列．……………5分

（2）由（1）知，

，……………6分

∴
，

∴
，……………8分

两式相减得
，

化简，得
，……………11分

所以

．……………12分

18．

【答案】（1）
；（2）42．

【解析】（1）从这5年中任意抽取两年,所有的事件有:（2011，2012），（2011，2013），（2011，2014），（2011，2015），（2012，2013），（2012，2014），（2012，2015），（2013，2014），（2013，2015），（2014，2015）共10种，至少有1年多于20人的事件有:（2011，2014）,（2011，2015）,（2012，2014），（2012，2015），,（2013，2014），（2013，2015），（2014，2015）共7种,则至少有1年多于10人的概率为
. ……………5分

（2）由已知数据得
，……………7分

，……………8分

，……………9分

所以
，
，…………10分

所以，回归直线的方程为
，……………11分

则第2018年的估计值为
．……………12分

19．

【答案】（1）见解析；（2）
．

【解析】（1）∵在直三棱柱
中，
平面
，

又∵
平面
，∴
．……………………1分

又∵
平面
，
平面
，∴
．……………………3分

又∵
分别为
和
的中点，∴
，∴
．……………………4分

而
平面
，
平面
，且
，

∴
平面
．

又∵
平面
，∴
． ……………………6分

（2）∵
，∴
，则由
，知
，

∴
，则
．……………………8分

由（1）知
平面
，则由
为
的中点，知
到平面
的距离为
到平面
的距离的
，即为
，……………………10分

∴
．……………………12分

20．

【答案】（1）
；（2）
．

【解析】（1）由
，令
，得
，则
，所以
　　　①．

又由题意，得
，即
　　②．

由①②解得
，故椭圆
的方程为
．……………4分

（2）不妨设直线
的方程
，设
，
．

由
，消去
得
，则

，
．……………6分

因为以
，所以
．

由
，得
．……………7分

将
代入上式，得
.

将 ① 代入上式，解得
或
（舍）．

所以
（此时直线
经过定点
，与椭圆有两个交点），……………9分

所以

．……………10分

设
，则
，

所以当
时，
取得最大值
．……………12分

21．

【答案】（1）当
时，递增区间为
、
，递减区间为
；
时，递增区间为
；当
时，递增区间为
、
，递减区间为
；（2）
．

【解析】

试题分析：（1）
，且
，

＝
．

令
，得
或
，且
……………1分

①当
时，若
或
，则
；若
，则
；所以
的递增区间为
、
，递减区间为
．……………2分

②当
时，
，所以
的递增区间为
．………4分

③当
时，若
或
，则
；若
，则
；所以
的递增区间为
、
，递减区间为
．……………6分

（2）由函数解析式知函数定义域为
，且
，

所以
，则

不等式
等价于
，

即
．

由题意，知不等式
对一切
恒成立．……………8分

令
，则
．

因为
，则当
时，
；当
时，
，

所以当
时，
取得最小值
，……………11分

所以
，解得
，

故实数
的取值范围
．……………12分

请从下面所给的22 , 23 ,24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22．

【答案】（1）见解析；（2）2．

【解析】（1）由题意知
为圆的直径，则
．

又∵
为
中点，∴
，
．…………2分

由
，知
，
，

∴
，则
，

∴
，∴
，即
．……………………4分

（2）∵
四点共圆，所以
，

又∵
为
的切线，∴
，…………6分

∴
，∴
，且
．…………7分

由（1）知
，且
，
，

∴
，
．…………8分

由切割线定理，得
，

，解得
．……………………10分

23．

【答案】（1）
；（2）
或15．

【解析】（1）直线
的参数方程化为
，则

由
，
，得直线的直角坐标方程为
．……………2分

由
，消去参数
，得
，即
（*），

由
，
，
，

代入（*）可得曲线
的极坐标方程为
．……………5分

（2）设直线
：
与曲线
相切．

由（1）知曲线
的圆心为
，半径为5，则
，

解得
或
，…………………………7分

所以
的方程为
或
，即
或
．

又将直线
的方程化为
，

所以
或
．…………………………10分

24．

【答案】（1）6；（2）
．

【解析】（1）由
，即
，
，所以
．……2分

不等式的整数解为－3，则
，解得
．

又不等式仅有一个整数解－3，∴
．……………………4分

（2）因为
的图象恒在函数
的上方，故
，

所以
对任意
恒成立．……………………5分

设
，则
……………7分

作出
图象得出当
时，
取得最小值4，

故
时，函数
的图象恒在函数
的上方，

即实数
的取值范围是
．……………………10分

通达教学资源网 http://www.nyq.cn/