中原名校联盟2016届高三四月高考仿真模联考

数学（文）试题

（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）

第Ⅰ卷 选择题（共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1．已知全集U＝R，集合A＝{x｜lgx≤0}，B＝{x｜
≤
}，则A∩B＝

A．（－∞，1] B．（0，
] C．[
，1 ] D．

2．若复数
的实部与虚部相等，则实数a＝

A．－1 B．1

C．－2 D．2

3．为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，

统计两科成绩得到如图所示的散点图（两轴单位长度相

同），用回归直线
＝bx＋a近似的刻画其相关关系，根

据图形，以下结论最有可能成立的是

A．线性相关关系较强，b的值为1．25

B．线性相关关系较强，b的值为0．83

C．线性相关关系较强，b的值为－0．87

D．线性相关关系太弱，无研究价值

4．某个几何体的三视图如图所示（其中正视图中的圆弧是

半径为2的半圆），则该几何体的表面积为

A．92＋14π

B．82＋14π

C．92＋24π

D．82＋24π

5．下列说法错误的是

A．命题“若
－5x＋6＝0，则x＝2”的逆否命题是“若x≠2，则
－5x＋6≠0”

B．若x，y∈R，则“x＝y”是“xy≥
”的充要条件

C．已知命题p和q，若p∨q为假命题，则命题p与q中必一真一假

D．若命题p：
∈R，
＋
＋1＜0，则
：
∈R，
＋x＋1≥0

6．阅读如图所示的程序框图，则输出结果S的值为

A．
B．

C．
D．

7．点A（1，2）在抛物线
＝2px上，抛物线的焦点为

F，直线AF与抛物线的另一交点为B，则｜AB｜＝

A．2 B．3

C．4 D．6

8．已知O为坐标原点，A，B两点的坐标均满足不等式组
，设
与
的夹角为θ，则tanθ的最大值为

A．
B．
C．
D．

9．己知角
的终边经过点P（5，－12），函数f（x）＝sin（ωx＋
）（ω＞0），满足对任意的x，存在x1，x2使得f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，且｜x1－x2｜的最小值为
，则f（
）的值为

A．
B．－
C．
D．－

10．设点P是双曲线
（a＞0，b＞0）与圆
＝
在第一象限的交点，

F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，且｜PF1｜＝3｜PF2｜，则双曲线的离心率为

A．
B．
C．
D．

11．如果对定义在R上的函数f（x），对任意
≠
，都有x1f（x1）＋x2f（x2）＞x1f（x2）＋x2f（x1）则称函数f（x）为“H函数”．给出下列函数：①y＝－
＋x＋1；②y＝3x－2（sinx－cosx）；③y＝
＋1：④f（x）＝
．其中函数是“H函数”的个数为

A．1 B．2 C．3 D．4

12．已知函数f（x）＝
－ax有两个零点x1＜x2，则下列说法错误的是

A．a＞e B．x1＋x2＞2

C．x1x2＞1 D．有极小值点
，且x1＋x2＜2x0

第Ⅱ卷 非选择题（共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上。）

13．已知
与
为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量
＋
与向量k
－
垂直，则k＝___________．

14．已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）－g（x）＝
＋
＋1，则函数h（x）＝2f（x）－g（x）在点（0，h（0））处的切线方程是______________．

15．已知函数f（x）＝
的值域是[0，2]，则实数a的取值范围是______________．

16．已知直角△ABC的两直角边AB，AC的边长分别为方程
－2（1＋
）x＋4
＝0的两根，且AB＜AC，斜边BC上有异于端点B、C的两点E、F，且EF＝1，设∠EAF＝θ，则tanθ的取值范围为__________．

三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。）

17．（本小题满分12分）

已知数列{
}和{
}满足a1＝2，b1＝1，2
＝
，b1＋
b2＋
b3＋…＋

＝
－1（n∈N﹡）．

（1）求
与
；

（2）记数列{

}的前n项和为
，求
．

18．（本小题满分12分）

如图，四边形ABCD为梯形，AB∥CD，PD

⊥平面ABCD，∠BAD＝∠ADC＝90°，DC

＝2AB＝2a，DA＝
a，E为BC中点．

（1）求证：平面PBC⊥平面PDE；

（2）线段PC上是否存在一点F，使PA∥平

面BDF?若存在，请找出具体位置，并进

行证明：若不存在，请分析说明理由．

19．（本小题满分12分）

在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评．某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：

表1：男生 表2：女生

等级

优秀

合格

尚待改进



等级

优秀

合格

尚待改进



频数

15

x

5



频数

15

3

y



（1）从表2的非优秀学生中随机选取2人交谈，求所选2人中恰有1人测评等级为合格的概率；

（2）由表中统计数据填写下边2×2列联表，并判断是否有90％的把握认为“测评结果优秀与性别有关”．

20．（本小题满分12分）

已知椭圆C：
（a＞b＞0）的右焦点F1与抛物线
＝4x的焦点重合，原点到过点A（a，0），B（0，－b）的直线的距离是
．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设动直线l：y＝kx＋m与椭圆C有且只有一个公共点P，过F1作PF1的垂线与直线l 交于点Q，求证：点Q在定直线上，并求出定直线的方程．

21．（本小题满分12分）

已知函数f（x）＝x－
－alnx（a∈R）．

（1）讨论f（x）的单调区间；

（2）设g（x）＝f（x）＋2alnx，且g（x）有两个极值点为x1,x2，其中x1∈[0，e]，求

g（x1）－g（x2）的最小值．

【选做题】

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，答题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。

22．（本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】

如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，AB的延长

线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE．

（1）证明：∠D＝∠E；

（2）设AD不是圆O的直径，AD的中点为M，且MB

＝MC，证明：△ADE为等边三角形．

23．（本小题满分10分）【选修4—4：坐标系与参数方程】

极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为ρ＝2
sin（θ＋
），曲线C2的极坐标方程为ρsinθ＝a（a＞0），射线θ＝
，θ＝
＋
，θ＝
－
，θ＝
＋
与曲线C1分别交异于极点O的四点A，B，C，D．

（1）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和C2化成直角坐标方程；

（2）求｜OA｜·｜OC｜＋｜OB｜·｜OD｜的值．

24．（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】

已知函数f（x）＝｜2x－a｜＋a．

（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x｜－2≤x≤3}，求实数a的值；

（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m－f（－n）成立，求实数m的取值范围．

文科数学参考答案

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

A

B

A

C

D

C

C

C

D

B

C



解析：

1．

故选B

2．

即
故选A

3．由散点图直观观察知，正相关且相关关系较强，故选B

4．由三视图知，直观图是长方体上放一个半圆柱，

故选A

5．由选择支分析得C显然是错误。

6．由程序框图有：

故选D

7．由题意知：
在
上

抛物线方程为

故选C

8．由线性约束条件知

由
得
,由
得

由图知
最大时

即选C

9．由三角函数定义知：

由已知有

即
故选C

10．由已知有：

又

，在
中有：

即

故选D

11．由“H函数”定义有：

即
是R上的单增函数。

①
不符

②
恒成立。符合

③
单增, 符合

④图像如图 不符

故符合有2个 ，选B

12．

①当
时
恒成立

R上单增，不符题意

②当
时

由
得

当
时，

当
时，

极小值=
=

得
故A正确

又

故B正确

由
得

C,D两项互斥。

由
得

令

得图：

不妨取
，

只需比较
与
的大小

又

故C不正确

二、填空题：

13．１ 14．
15．
16．

解析：

13．

即

又
不恒成立

14．

即

又

切线方程是：

15．函数图像如图所示：

16．由已知有 AB=2 AC=

取EF中点P,EF=1,由动态三角形有：

当AP最小时，
最小

当AP最大时，
最大

三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

17．解：（1）
得
…………………………………2分

由题意知：

当
时，
，故

当
时，

得
，所以
……………………………………………………6分

由（1）知
………………………………………………………7分

……………………………………………………9分

…………………………………………………………………10分

故
………………………………………………………………………………12分

18．证明:（1）连结

所以

为
中点

所以
……………3分

又因为