中原名校联盟2016届高三四月高考仿真模拟联考

数学（理）试题

（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）

第Ⅰ卷 选择题（共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1．设全集U＝R，集合A＝{x｜0≤x≤2}，B＝{y｜1≤y≤3}，则（CUA）UB＝

A．（2， 3] B．（－∞，1]U（2，＋∞）

C．[1，2） D．（－∞，0）U[1，＋∞）

2．已知i是虚数单位，若a＋bi＝
－
（a，b∈R），则a＋b的值是

A．0 B．－
i C．－
D．

3．已知条件p：a＜0，条件q：
＞a，则
是
的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是

A．①④ B．②③ C．②④ D．①②

5．双曲线
（a＞0，b＞0）与椭圆
的焦点相同，若过右焦点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有两个不同交点，则此双曲线实半轴长的取值范围是

A．（2，4） B．（2，4] C．[2，4） D．（2，＋∞）

6．若数列{
}满足
－
＝d （n∈N﹡，d为常数），则称数列{
}为调和数列．已知数列{
}为调和数列，且x1＋x2＋…＋x20＝200，则x5＋x16＝

A．10 B．20 C．30 D．40

7．已知实数x，y满足约束条件
则
＋2x的最小值是

A．
B．
－1 C．
D．1

8．已知函数f（x）＝sin（2x＋
），其中0＜
＜

2π，若f（x）≤｜f（
）｜对x∈R恒成立，

且f（
）＞f（π），则
等于

A．
B．

C．
D．

9．程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的

值是

A．2 B．－

C．－3 D．

10．一袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个，每次从中取出一个，记下颜色后放回，当

三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取5次球时停止取球的概率为

A．
B．
C．
D．

11．过抛物线
焦点F的直线交其于A，B两点，O为坐标原点．若｜AF｜＝3，则

△AOB的面积为

A．
B．
C．
D．2

12．如下图，在三棱锥P－ABC中，PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝3，PB＝2，PC＝2，设M是底面三角形ABC内一动点，定义：f（M）＝（m，n，p），其中m，n，p分别表示三棱锥M－PAB，M－PBC，M－PAC的体积，若f（M）＝（1，x，4y），且
＋
≥8恒成立，则正实数a的最小值是

A．2－
B．

C．
D．

第Ⅱ卷 非选择题（共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上。）

13．(
＋x)
的展开式中x的系数是__________________．

14．已知等比数列{
}为递增数列，a1＝－2，且3（
＋
）＝10
，

则公比q＝______________．

15．如右图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量
＝λ
＋μ
，则λ＋μ的最小值为_____________．

16．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）＝

，则关于x的函数F（x）＝

f（x）－a（0＜a＜1）的所有零点之和为_____．

三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。）

17．（本小题满分12分）

在△ABC中，角A、B、C所对的边为a，b，C，已知
＝
．

（1）求cosC的值；

（2）若△ABC的面积为
，且
＋
＝
，求a，b及c的值．

18．（本小题满分12分）

某媒体对“男女延迟退休”这一公众关注的问题进行了民意调查，下表是在某单位得到的数据（人数）：

（1）能否有90％以上的把握认为对这一问题的看法与性别有关?

赞同

反对

合计



男

5

6

11



女

11

3

14



合计

16

9

25



（2）进一步调查：

①从赞同“男女延迟退休”16人中选出3人进行陈述

发言，求事件“男士和女士各至少有1人发言”的

概率；

②从反对“男女延迟退休”的9人中选出3人进行座

谈，设参加调查的女士人数为X,求X的分布列和数学期望．

附：

19．（本小题满分12分）

在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，

AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE

＝2，G是BC的中点．

（1）求证：BD⊥EG：

（2）求平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值．

20．（本小题满分12分）

已知椭圆C：
（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点B（0，
）为短轴的一个端点，∠OF2B＝60°．

（1）求椭圆C的方程；

（2）如图，过右焦点F2，且斜率k（k≠0）的直线l

与椭圆C相交于D，E两点，A为椭圆的右顶点，

直线AE，AD分别交直线x＝3于点M，N，线

段MN的中点为P，记直线PF2的斜率为
．试

问k·
是否为定值?若为定值，求出该定值；

若不为定值，请说明理由．

21．（本小题满分12分）

已知函数f（x）＝lnax－
（a≠0）．

（1）求此函数的单调区间及最值；

（2）求证：对于任意正整数n，均有1＋
＋
…＋
≥
（e为自然对数的底数）．

【选做题】

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，答题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。

22．（本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】

如图，A，B，C，D四点在同一圆上，BC与AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上．

（1）若
＝
，
＝
，求
的值；

（2）若EF2＝FA·FB，证明：EF∥CD．

23．（本小题满分10分）【选修4—4：坐标系与参数方程】

极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为ρ＝2
sin（θ＋
），曲线C2的极坐标方程为ρsinθ＝a（a＞0），射线θ＝
，θ＝
＋
，θ＝
－
，θ＝
＋
与曲线C1分别交异于极点O的四点A，B，C，D．

（1）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和C2化成直角坐标方程；

（2）求｜OA｜·｜OC｜＋｜OB｜·｜OD｜的值．

24．（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】

已知函数f（x）＝｜x－a｜．

（1）若f（x）≤m的解集为[－1，5]，求实数a，m的值；

（2）当a＝2且0≤t＜2时，解关于x的不等式f（x）＋t≥f（x＋2）．

中原名校2016年四月份高考仿真模拟联考

数学（理）试题参考答案

一、选择题：

1．

因为
或
，
，所以
=
。

2．

因为
，所以

3．

因为
，
，所以
是
必要不充分条件

4．

由所给的正方体知，△PAC在该正方体上下面上的射影是①，△PAC在该正方体左右面上的射影是④，△PAC在该正方体前后面上的射影是④ 故①，④符合题意

5．

椭圆
的半焦距
．要使直线与双曲线有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，即
即

整理得
∴
又
，则此双曲线实半轴长的取值范围是

6．

由题意知：∵数列
为调和数列 ∴
∴
是等差数列? 又∵
=
∴
 又

7．

满足约束条件件
的平面区域如下图中阴影部分所示：

，表示
点到可行域内任一点距离的平方再减1，由图可知当
时，
取最小值1

8．

若
恒成立则
等于函数的最大值或最小值即
则
，即
当
时，此时
，满足条件

9．

由程序框图知：
；
；
;

;
……..，可知S出现周期为4，

当
时，结束循环输出S，,即输出的
，

10．

分两种情况3，1，1及2，2，1，这两种情况是互斥的，下面计算每一种情况的概率，当取球的个数

是3，1，1时，试验发生包含的事件是
，满足条件的事件数是
∴这种结果发生的概率

是
?,同理求得第二种结果的概率是
,根据互斥事件的概率公式得到

11．

设直线
的倾斜角为
及
， ∵
，∴点
到准线
的距离为 3， ∴
,即
，则
．

因为
所以
∴
的面积为
．

12．

∵
两两垂直，且
．∴
即
，∵
恒成立，∴

解得

∴正实数
的最小值为

二、填空题：

13．

的展开式中的第
项
，若求
的系数，只需要找到
展开式中的
的系数和常数项分别去乘
中
的系数和
的系数即可。令
得
的系数是15，令
得常数项为1.所以
的系数为

14．

因为等比数列
为递增数列且
，所以公比
，又因为
，两边同除
可得
即
，解得
或
，而
，所以
。

15．

以
为原点，以
所在直线为
轴，建立平面直角坐标系.

设正方形
的边长为 1.

则
?? 所以

设
?，由向量

所以，

∴
，

∴
，

∴
．

令
，则
所以
为增函数，由
得：当
时
取最小值为
.

16．

当
时，
，

当
时，函数
，关于
对称，

当
时，函数关于
对称，

由
，得
，
，

所以函数