平顶山市2016届高三年级第二次调研考试

高三理科数学

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上．

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号，写在本试卷上无效．

3．回答第Ⅱ卷时，将答案答在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集U＝R，集合A＝{x｜－1≤x≤2}，B＝{x｜x＜－3，或x＞4}，那么A∩（CUB）

＝

A．{x｜－1≤x≤4} B．{x｜－3≤x≤2}

C．{x｜－1≤x≤2} D．{x｜－3≤x≤4}

2．已知复数
为纯虚数，那么实数a＝

A．－2 B．－

C． 2 D．

3．设函数f（x）的定义域为R，则“
∈R，f（x＋1）＞

f（x）”是“函数f（x）为增函数”的

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4．一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几

何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A．7 B．

C．
D．

5．当n＝5时，执行如图所示的程序框图，输出的S值是

A．7 B．10 C．11 D．16

6．某学校开设“蓝天工程博览课程”，组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有

A．
×
种 B．
×
种 C．
×
种 D．
×
种

7．函数y＝a＋sinbx（b＞0且b≠1）的图象如图所示，那么函数y＝
的图象可能

是

8．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l
α，m
β．下列命题正确的是

A．若l⊥β，则α⊥β． B．若α⊥β，则l⊥m．

C．若l∥β，则α∥β． D．若α∥β，则l∥m．

9．向量a，b，c在正方形网络中的位置如图所示，若

c＝λα＋μb（λ，μ∈R），则
＝

A．－8 B．－4

C．4 D．2

10．已知点E（－λ，0）（λ≥0），动点A，B均在抛物线C：

（p＞0）上，若
·
的最小值为0，则

λ的值为

A．
B．0

C．P D．2p

11．如图，F1、F2是双曲线
（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为

A．4 B．
C．
D．

12．设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数．若存在实数t，使得[t]＝1，[
]＝2，…，[
]＝n同时成立，则正整数n的最大值是

A．6 B．5 C．4 D．3

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第2l题为必考题，每个试题考生都必答．第22题～24题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．曲线y＝sinx（0≤x≤π）与x轴围成的封闭区域的面积为___________．

14．如果a，b满足ab＝a＋b＋3，那么ab的取值范围是___________．

15．满足的约束条件
，则z＝2x－y的最大值为_____________．

16．设函数f（x）＝
，则满足f（f（a））＝
的a的取值范围是____________．

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

在△ABC中，b＝2，cosC＝
，△ABC的面积为
．

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）求sin2A值．

18．（本小题满分12分）

随着人口老龄化的到来，我国的劳动力人口在不断减少，“延迟退休”已经成为人们越来越关注的话题，为了了解公众对“延迟退休”的态度，某校课外研究性学习小组对某社区随机抽取了50人进行调查，将调查情况进行整理后制成下表：

年龄在[25，30），[55，60）的被调查者中赞成人数分别是3人和2人，现从这两组的被调查者中各随机选取2人，进行跟踪调查．

（Ⅰ）求年龄在[25，30）的被调查者中选取的2人都是赞成的概率；

（Ⅱ）求选中的4人中，至少有3人赞成的概率；

（Ⅲ）若选中的4人中，不赞成的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为直角

梯形，AD∥BC，AD⊥DC，平面PAD⊥底面ABCD，

Q为AD的中点，M是棱PC的中点，PA＝PD＝2，

BC＝
AD＝1，CD＝
．

（Ⅰ）求证：PQ⊥AB；

（Ⅱ）求二面角P－QB－M的余弦值．

20．（本小题满分12分）

已知椭圆C：
，（a＞b＞0）的离心率为
，且过点（1，
）．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设与圆O：
相切的直线l交椭圆C与A，B两点，求△OAB面积的最大值，及取得最大值时直线l的方程．

21．（本小题满分12分）

已知函数f（x）＝lnx－ax＋
，对任意的x∈（0，＋∞），满足f（x）＋f（
）＝0，其中a，b为常数．

（Ⅰ）若f（x）的图像在x＝1处的切线经过点（0，－5），求a的值；

（Ⅱ）已知0＜a＜1，求证f（
）＞0；

（Ⅲ）当f（x）存在三个不同的零点时，求a的取值范围．

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

22．（本小题满分10分）选修4—1;几何证明选讲

如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线

PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的

中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：

（Ⅰ）∠EBC＝∠BCE;

（Ⅱ）AD·DE＝2PB2．

23．（本小题满分10分）选修4—4：极坐标与参数方程

在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的参数方程为
（t为参数），P点的极坐标为（2，π），曲线C的极坐标方程为ρcos2θ＝sinθ．

（Ⅰ）试将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并求曲线C的焦点坐标；

（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于两点A，B，点M为AB的中点，求｜PM｜的值．

24．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲

设函数f（x）＝｜2x＋1｜－｜x－4｜．

（Ⅰ）解不等式：f（x）＞0；

（Ⅱ）若f（x）＋3｜x－4｜≥m对一切实数x均成立，求m的取值范围．

平顶山市2016届高三第二次调研考试

理科数学答案

选择题（每小题5分）

（1）．C；（2）．D；（3 ）B．；（4）．C；（5）．C；（6）．D；（7）．C；（8）．A；（9）．C；（10）．A ；（11）．B ；（12）．C．

二、填空题（每小题5分）

（13）．2； （14）．
或
； （15）．8； （16）．
．

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

（17）.解：（Ⅰ）因为
，且
，

所以
．

因为
，

得
． …………………6分

（Ⅱ）由余弦定理，

所以
．

由正弦定理，
，得
．

所以
．

所以
． …………………12分

（18）．解： (Ⅰ) 设“年龄在
的被调查者中选取的
人都是赞成”为事件
，

所以
…………… 3分

(Ⅱ) 设“选中的
人中，至少有3人赞成”为事件
，

所以
……………… 7分

（Ⅲ）
的可能取值为
，
，
，

所以
，
，

，

………… 10分







3















所以
的分布列是

…………………… 11分

所以







…………………… 12分

（19）．（I）证明：在
中，
为
中点.

所以
...........................................1分

因为平面
底面
，且平面
底面

所以
底面
...........................................3分

又
平面

所以
. ...........................................4分

（II）在直角梯形
中，
//
为
中点

所以

所以四边形
为平行四边形

因为
所以

由（I）可知
平面

所以，以
为坐标原点，建立空间直角坐标系，
如图.

则

..................................6分

因为

所以
平面

即
为平面
的法向量，且
................................8分

因为
是棱
的中点

所以点
的坐标为

又

设平面
的法向量为

则

即

令
得

所以
.......................................10分

所以
...........................................11分

由题知，二面角
为锐角

所以二面角
的余弦值为
................ ...........................................12分

（20.）

解（1）由题意可得：
————————2分

——————————4分

（2）①当
不存在时，
，

———5分

②当
存在时，设直线为
，

————6分

—————7分

——————8分

————10分

当且仅当
即
时等号成立 —————11分

，

∴
面积的最大值为
，此时直线方程
. —————12分

（21.）

（22）．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

（23）．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

解：（Ⅰ）解：（1）把
代入
，可得曲线
的直角坐标方程为
，它是开口向上的抛物线，焦点坐标为
.……5分

（Ⅱ）点
的直角坐标为
，它在直线
上，在直线
的参数方程中，

设点
对应的参数为

由题意可知
.

把直线
的参数方程代入抛物线的直角坐标方程，得
.

因为

所以
……10分

24．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲

解：（1）当
时,
,得
,[:.]

所以
成立.

当
时，
,得
，

所以
成立.

当
时,
,得
,

所以
成立.