河南省平顶山新乡许昌2016届高三第三次调研考试

理 科 数 学

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应位置上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上．

2．问答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号，写在本试卷上无效．

3．回答第Ⅱ卷时，将答案答在答题卡上，写在本试卷上无效．

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．

1．设复数z1＝－1＋3i，z2＝1＋i，则
＝

A．－1－i B．1＋i

C．1－i D．－1＋i

2．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是

0．75，连续两天为优良的概率是0．6，已知某天的空气质量为优

良，则随后一天的空气质量为优良的概率是

A．0．8 B．0．75

C．0．6 D．0．45

3．如图所示的程序框图，当输入n＝50时，输出的结果是i＝

A．3 B．4

C．5 D．6

4．函数f（x）＝cos（ωx＋
）的部分图象如图所示，则下列结论

成立的是

A．f（x）的递增区间是（2kπ－
，2kπ＋
），k∈Z

B．函数f（x－
）是奇函数

C．函数f（x－
）是偶函数

D．f（x）＝cos（2x－
）

5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面

积为

A．54 B．60

C．66 D．72

6．经过原点并且与直线x＋y－2＝0相切于点

（2，0）的圆的标准方程是

A．
B．4

C．
D．

7．已知{
}为等比数列，
＋
＝2，
＝－8，则
＋
＝

A．7 B．5 C．－5 D．－7

8．设函数f（x）对x≠0的实数满足f（x）－2f（
）＝3x＋2，那么
＝

A．－（
＋2ln2）B．
＋2ln2 C．－（
＋ln2） D．－（4＋2ln2）

9．下列命题中，真命题是

A．
∈R，使
＜
＋1成立

B．a，b，c∈R，
＋
＋
＝3abc的充要条件是a＝b＝c

C．对
∈R，使
＞
成立

D．a，b∈R，a＞b是a｜a｜＞b｜b｜的充要条件

10．设F1、F2分别为双曲线
（a＞0，b＞0）的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足｜PF2｜＝｜F1F2｜,且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为

A．3x
4y＝0 B．3x
5y＝0 C．4x
3y＝0 D．5x
4y＝0

11．在由数字0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有

A．372 B．180 C．192 D．300

12．设x∈（1，＋∞），在函数f（x）＝
的图象上，过点P（x，f（x））的切线在y轴上的截距为b，则b的最小值为

A．e B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～24题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．若x，y满足约束条件：
则x－y的取值范围是___________．

14．如图，△ABC中，
＝2
，
＝m
，
＝n
，m＞0，n＞0，那么m＋2n的最小值是__________．

15．已知数列{
}满足a1＝1，
＋
＝2n，其前n项和为
，则
＝________。

16．设函数f（x）＝
若f（x）恰有2个零点，则实数a的范围是______．

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝bcosC＋
csinB．

（Ⅰ）若a＝2，b＝
，求c；（Ⅱ）若
sin（2A－
）－2
＝0，求A．

18．（本小题满分12分）

某高中为了适应“新高考模式改革”，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，

在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技

术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，

也可以放弃任何一门科目的辅导讲座．（规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，

否则称为不

满座）统计数

据表明，各学

科讲座各天

的满座的概

率如下表：

根据上表：

（Ⅰ）求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率；

（Ⅱ）设周三各辅导讲座满座的科目数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．

19．（本小题满分12分）

在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB＝90°，AD∥BC，AD⊥侧面PAB，△PAB是等边三角形，DA＝AB＝2，BC＝
AD，E是线段AB的中点．

（Ⅰ）求四棱锥P－ABCD的体积；

（Ⅱ）试问线段PB上是否存在点F，使二面角C－DE－F

的余弦值为
?若存在，确定点F的位置；若不存在，

说明理由．

20．（本小题满分12分）

设A1（－2
，0），A2（2
，0），P是动点，且直线A1P与A2P的斜率之积等于

－
．

（Ⅰ）求动点P的轨迹E的方程；

（Ⅱ）设轨迹E的左、右焦点分别为F1，F2．作两条互相垂直的直线MF1和MF2与轨迹E的交点分别为A、B和C、D，求证：
＋
恒为定值．

21．（本小题满分12分）

已知函数f（x）＝lnx，g（x）＝
－2x．

（Ⅰ）设h（x）＝f（x＋1）－
（其中
是g（x）的导函数），求h（x）的单调区间；

（Ⅱ）设k∈Z，当x＞1时，不等式k（x－1）＜xf（x）＋3
＋4恒成立，求k的最大值．

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时，请写清楚题号．

22．（本小题满分10分）选修4一1：几何证明选讲

如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E．

（Ⅰ）证明：△ABE∽△ADC；

（Ⅱ）若△ABC的面积S＝
AD·AE，求∠BAC的大小．

23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

已知直线C1：
（t为参数），圆C2：
（θ为参数）．

（Ⅰ）当
＝
时，求C1被C2截得的线段的长；

（Ⅱ）过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，当
变化时，求A点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．

24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

（Ⅰ）解不等式：｜2x－1｜－｜x｜＜1；

（Ⅱ）设f（x）＝
－x＋1，实数a满足｜x－a｜＜1，求证：｜f（x）－f（a）｜＜

2（｜a｜＋1）．

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理科数学答案

一．选择题：(每小题5分）

(1)C (2)A (3)C (4)D (5)B (6)A (7)D (8)A (9)D (10)C (11)C (12)D

二．填空题：(每小题5分）

(13)
，(14) 3，(15)1009， (16)
．

三．解答题：

(17)（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）∵
，∴
，

∴
，

∴
，∴
．

∵
，∴
，

∴
． ……6分

（Ⅱ）∵

． ………10分

∴由
，及
，可得
． ………12分

(18)（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事件A，

则
． ……4分

（II）
的可能值得为0，1，2，3，4，5．

………9分

所以随机变量
的分布列如下：

0

1

2

3

4

5



















…10分

故
． ……………12分

(19)（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）因为
侧面
，
平面
，所以
．

又因为△
是等边三角形，
是线段
的中点，所以
．

因为
，所以
平面
． ……3分

由DA=AB=2，
，可得BC=1．

因为△
是等边三角形，可求得
．

所以
． …………6分

（Ⅱ）以
为原点，建立如图所示的空间直角坐标系
．

则有
．

设
，则
，

所以
． …………7分

设
为平面
的法向量，

．

又平面
的法向量为
． ……10分

∴
，化简得
．

解得
（舍去）或
．所以存在点
，且
． …12分

(20)（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设点
的坐标为
，则由题意得
， …… 3分

化简得：
且
．

故动点
的轨迹E的方程为
且
． … 5分

（Ⅱ）设直线AB的方程为
，则直线CD的方程为
．… 6分

由
消去y得
． ………… 7分

由韦达定理得：
，
，

所以，
． ………… 9分

同理可得
． ………… 10分

所以
． ………… 12分

(21)（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）
，
，

所以
．

当
时，
；当
时，
．

因此，
在
上单调递增，在
上单调递减． ………… 5分

（Ⅱ）不等式
化为
，

所以
对任意
恒成立．

令
，则
．

令

，则
，

所以函数
在
上单调递增．

因为
，

所以方程
在
上存在唯一实根
，且满足
．

当
，即
，当
，即
，

所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增．

所以
．

所以
．

故整数
的最大值是
． ……… 12分

(22)（本小题满分10分）选修4—1；几何证明选讲

证明：（Ⅰ）由已知条件得∠BAE=∠CAD，

∵∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角，∴∠AEB=∠ACB，

∴△ABE∽△ADC． … 5分

（Ⅱ）∵△ABE∽△ADC，∴
，即AB·AC=AD·AE．

∵△ABC的面积S=
AB·ACsin∠BAC，又S=
AD·AE，

故AB·ACsin∠BAC = AD·AE，∴sin∠BAC =1．

因为∠BAC是三角形的内角，所以∠BAC =90°． ……… 10分

（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

解：（Ⅰ）当
时，
的普通方程为
，
的普通方程为
．

联立方程组
，解得
与
的交点为（1，0）与
．

所以，
被
截得的线段的长为1． ………… 5分

（Ⅱ）将
的参数方程代入
的普通方程得
，

∴A点对应的参数
，∴A点坐标为
．

故当
变化时，A点轨迹的参数方程为：
（
为参数）．

因此，A点轨迹的普通方程为
．

故A点轨迹是以
为圆心，半径为
的圆． … 10分

(24)（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲

解：（Ⅰ）当x<0时，原不等式可化为
，解得
，又∵
，∴
不存在；

当
时，原不等式可化为
，解得
，又∵
，∴
；

当
时，原不等式可化为
，解得
，又∵
，∴
；

综上，原不等式的解为
． ………… 5分

（Ⅱ）∵