2016年数学三摸试题（文）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，其中第II卷第（22）-（23）题为选考题，其他题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1、答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2、选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。

3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4、保持卷面清洁，不折叠，不破损。

5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

参考公式：

样本数据
的标准差 锥体体积公式

其中
为样本平均数 其中
为底面面积，
为高

柱体体积公式 球的表面积，体积公式

其中
为底面面积，
为高 其中R为球的半径

第I卷

选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

一、选择题

1. 已知全集I={1,2,3,4,5,6,7}，集合M={3，5，6}，集合N={1, 3, 4}，则集合{2, 7}= A

A.(CIM)∩(CIN) B.(CIM)∪(CIN) C.M∪N D.M∩(CIN)

2.已知复数z满足iz=i+z，则z= C

A.-
+
I B. -
-
I C.
-
i D.
+
i

3. 下列结论正确的是 C

A.命题P:
x>0，都有 x2>0，则p：
x0
0，使得x02
0；

B.若命题p和p
q都是真命题，则命题q也是真命题；

C.在△ABC中，a，b，c是角A, B, C的对边，则
的充要条件是cosA>cosB；

D.命题“若x2+x-2=0，则x=-2或x=1”的逆否命题是“x≠-2或x≠1，则x2+x-2≠0”

4. 已知数列
是等比数列，
是1和3的等差中项，则
（ ）D

A．16 B．8 C．2 D．4

5. sin135°cos（﹣15°）+cos225°sin15°等于（　　）C

A．﹣
B．﹣
C．
D．

6. 按如下程序框图，若输出结果为S=170，则判断框内应补充的条件为 A

A．
B．
C．
D．

7. 已知函数f（x）=sinωx（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π，为了得到函数
的图象，只要将y=f（x）的图象（　　）C

A．向左平移
个单位长度 B．向右平移
个单位长度

C．向左平移
个单位长度 D．向右平移
个单位长度

8. 甲乙两名篮球运动员近几场比赛得分统计成茎叶图如图，甲乙两人的平均数与中位数分别相等，则
为（ ）D

（A）3:2 （B）2:3

（C）3:1 或5:3 （D）3:2 或7:5

9. M,N分别是圆（x-3）2 + (y-4)2=4和圆 (x-5)2+(y-2)2=1上的动点，P是x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值等于( )B

A．
B．7 C．
D．

10.如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某四棱锥

的三视图，则该四棱锥的四个侧面中面积最小的一个侧面的面积为 A

A．4 B．6 C．
D．

11．在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对应三角形的边长， 若4a
+2b
+3c
=
，则cosB= D

A.
B. -
C.
D. -

12. 设函数f(x)在R上存在导数f'(x),
x∈R,有f(-x)+f(x)=x2, 且在(0,+∞)上f'(x)

A.[-2，2] B.[2，+∞) C.[0，+∞) D.{- ∞,-2}∪[2，+∞)

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题~第（24）题为选考题，考试根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13. 设
，
满足约束条件：
则
的最大值为 .3

14. 已知函数f(x)＝
（其中e为自然对数的底数），则函数

y=f(f(x)) 的零点等于 e

15. 在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，AB=1，AC=2，∠BAC=60o，体积为
，则三棱锥的外接球的体积等于

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤

17．（本小题满分12分）

已知等比数列{an}的公比q＞1，前n项和为Sn，S3=7，且a1+3，3a2，a3+4成等差数列.

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）设cn=(3n-2)an,求数列{cn}的前n项和Sn.

解：（Ⅰ）
S3=7，∴a1+a2 +a3=7．

因为a1+3，3a2，a3+4成等差数列，所以，a1+3，+a3+4=6a2 ，求得a2 =a1?q=2 ①．

又由a1+a2 +a3=7得a1 +a1?q2=5 ②，----2分

由①②可得 2q2﹣5q+2=0，解得q=2，或q=
（舍去），∴a1=1，an =2n﹣1．----6分

（Ⅱ）

---8分

(1)-(2)得：

18.(本小题满分12分)

为了解某校高三毕业班报考体育专业学生的体重（单位：千克）情况，将他们的体重数据整理后得到如下频率分布直方图．已知图中从左至右前3个小组的频率之比为1：2：3，其中第2小组的频数为12．（I）求该校报考体育专业学生的总人数n；（Ⅱ）已知A，a是该校报考体育专业的两名学生，A的体重小于55千克，a的体重不小于70千克．现从该校报考体育专业的学生中按分层抽样分别抽取体重小于55千克和不小于70 千克的学生共6名，然后再从这6人中抽取体重小于55 千克的学生1人，体重不小于70 千克的学生2人组成3人训练组，求A不在训练组且a在训练组的概率．





解：（I）设该校报考体育专业的人数为n，前三小组的频率分别为p1，p2，p3，则由题意可知，

p2=2p1



p3=3p1



p1+p2+p3+(0.0357+0.0125)×5=1









解得p1=0.125，p2=0.25，p3=0.375．又因为p2=0.25=
， 故n=48．
………………6分（II）由题意，报考体育专业的学生中，体重小于55千克的人数为48×0.125=6，记他们分别为A，B，C，D，E，F，体重不小于70千克的人数为48×0.0125×5=3，记他们分别为a，b，c，
………………8分

从体重小于55千克的6人中抽取1人，体重不小于70千克的3人中抽取2人组成3人训练组，所有可能结果有：（A，a，b），（A，a，c），（A，b，c），（B，a，b），（B，a，c），（B，b，c），（C，a，b），（C，a，c），（C，b，c），（D，a，b），（D，a，c），（D，b，c），（E，a，b），（E，a，c），（E，b，c），（F，a，b），（F，a，c），（F，b，c），共18种；其中A不在训练组且a在训练组的结果有：（B，a，b），（B，a，c），（C，a，b），（C，a，c），（D，a，b），（D，a，c），（E，a，b），（E，a，c），（F，a，b），（F，a，c），共10种，
………………10分

由分层抽样的等概率性可知，所求概率等于从分层抽样前体重小于55千克的6人中抽取1人，体重不小于70千克的3人中抽取2人组成3人训练组，A不在训练组且a在训练组的概率，

即所求概率为P=
．
………………12分



19.（本小题满分12分）

如图，已知长方形
中，AB=2AD，
为
的中点．将
沿
折起，

使得平面
平面
．

（Ⅰ）求证：
；

（II）若点
是线段
上的一动点，问点
在何位置时，三棱锥
的体积与四棱锥
的体积之比为
?

20.（本小题满分12分）

已知动圆Q过定点F（0，-1），且与直线
：y=1相切，椭圆N的对称轴为坐标轴，O点为坐标原点，F是其一个焦点，又点A（0，2）在椭圆N上． （Ⅰ）求动圆圆心Q的轨迹M的标准方程和椭圆N的标准方程； （Ⅱ）若过F的动直线m交椭圆N于B，C点，交轨迹M于D，E两点，设S1为△ABC的面积，S2为△ODE的面积，令Z=S1S2，试求Z的取值范围．

解：（Ⅰ）依题意，由抛物线的定义易得动点Q的轨迹M的标准方程为：x2=-4y……2分

依题意可设椭圆N的标准方程为

显然有c＝1，a＝2∴b＝
∴椭圆N的标准方程为
； ………5分（Ⅱ）显然直线m的斜率存在，不妨设直线m的直线方程为：y=kx-1①联立椭圆N的标准方程
有（3k2+4）x2-6kx-9=0，设B（x1，y1），C（x2，y2）则有|x1?x2|＝
，∴S1＝
|AF|·|x1-x2|＝
， ………8分再将①式联立抛物线方程x2=-4y 有x2+4kx-4=0，设D（x3，y3），E（x4，y4）

得| x3- x4|＝4
，∴S2＝
|OF|·|x3-x4|=2
， ………10分

∴Z＝S1S2＝
＝12(1?
)≥12(1?
)＝9，

∴当k=0时，Zmin=9, 又Z<12 ．

∴Z
[9,12) ………12分

21．（本小题满分12分）

已知函数
，
．

（Ⅰ）若
，求函数
的单调区间；

（Ⅱ）若对任意
都有
恒成立，求实数
的取值范围．

解：(Ⅰ)
,令
,则
,

则当
时,

单调递减,当
时,

单调递增.

所以有
,所以
…………………4分

(Ⅱ)当
时,
,令
,则
,则
单调递增,

当
即
时,
,
成立;

当
时,存在
,使
,则
减,则当
时,
,不合题意.综上
………………………….8分

请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

22．（本小题满分10分） 选修4-1：平面几何选讲

如图，过圆E外一点A作一条直线与圆E交B、C两点，且
，作直线AF与圆E相切于点F，连接EF交BC与点D，已知圆E的半径为2，
.

（1）求AF的长；

（2）求证：
.

解(1) 延长BE交圆E于点M，连结CM，则∠BCM=90?，

又BM=2BE=4，∠EBC=30?，所以BC=2，

又AB=AC，可知AB=BC=.

所以根据切割线定理AF2=AB·AC=×3=9，

即AF=3. ……………………5分

(2) 过E作EH⊥BC于H，则△EDH∽ADF，

从而有==，因此AD=3ED. …………………………10分

23．（本小题满分10分）选修4 - 4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标中，以坐标原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为
，过点
的直线
的参数方程为
为参数）直线
与曲线C相交于
两点。

（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线
的普通方程；

（Ⅱ）若
，求
的值。

（Ⅰ）由ρsin2θ=2acosθ(a>0)得：ρ2sin2θ=2aρcosθ

∴曲线C的直角坐标方程为：y2=2ax

由
消去t得：y+4=x+2

∴直线l的直角坐标方程为：y=x-2??………………5分

（Ⅱ）直线l的参数方程为
（t为参数）,代入y2=2ax, 得到t2-2(4+a)t+8(4+a)=0，?………………7分

设A，B对应的参数分别为t1,t2,则t1,t2是方程的两个解，

由韦达定理得：t1+t2=2(4+a),t1t2=8(4+a)

因为
，所以(t1-t2)2=(t1+t2)2-4t1t2=t1t2

解得a=1………………10分

24.（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲．

已知函数f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|

（Ⅰ）解不等式f（x）≥﹣2；

（Ⅱ）对任意x∈[a，+∞），都有f（x）≤x﹣a成立，求实数a的取值范围．

解：（Ⅰ）f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|≥﹣2，

当x≤﹣2时，x﹣4≥﹣2，即x≥2，∴x∈?；

当﹣2＜x＜1时，3x≥﹣2，即x≥﹣
，∴
﹣≤x≤1；

当x≥1时，﹣x+4≥﹣2，即x≤6，∴1≤x≤6；

综上，不等式f（x）≥﹣2的解集为：{x|﹣
≤x≤6} ……………………………5分

（Ⅱ）
，

函数f（x）的图象如图所示：

令y=x﹣a，﹣a表示直线的纵截距，当直线过（1，3）点时，﹣a=2；

∴当﹣a≥2，即a≤﹣2时成立；……………………………8分

当﹣a＜2，即a＞﹣2时，令﹣x+4=x﹣a，得x=2+
，

∴a≥2+
，即a≥4时成立，

综上a≤﹣2或a≥4．……………………………10分

通达教学资源网 http://www.nyq.cn/