2016年数学三摸试题（理）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，其中第II卷第（22）-（23）题为选考题，其他题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1、答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2、选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。

3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4、保持卷面清洁，不折叠，不破损。

5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

参考公式：

样本数据
的标准差 锥体体积公式

其中
为样本平均数 其中
为底面面积，
为高

柱体体积公式 球的表面积，体积公式

其中
为底面面积，
为高 其中R为球的半径

第I卷

选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

一、选择题

1. 已知复数z满足iz=i+z，则z= C

A.-
+
I B. -
-
I C.
-
i D.
+
i

2. 集合
，则
的子集个数为（ ）B

（A）2个 （B）4个 （C）8个 （D）16个

3. 下列结论正确的是 C

A.命题P:
x>0，都有 x2>0，则p：
x0
0，使得x02
0；

B.若命题p和p
q都是真命题，则命题q也是真命题；

C.在△ABC中，a，b，c是角A, B, C的对边，则
的充要条件是cosA>cosB；

D.命题“若x2+x-2=0，则x=-2或x=1”的逆否命题是“x≠-2或x≠1，则x2+x-2≠0”

4. 已知数列
是等比数列，
是1和3的等差中项，则
（ ）D

A．16 B．8 C．2 D．4

5. 已知12sinα﹣5cosα=13，则tanα=（　　）B

A．﹣
B．﹣
C．±
D．±

6. 按如下程序框图，若输出结果为S=170，则判断框内应补充的条件为 A

A．
B．
C．
D．

7. 已知函数f（x）=sinωx（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π，为了得到函数
的图象，只要将y=f（x）的图象（　　）C

A．向左平移
个单位长度 B．向右平移
个单位长度

C．向左平移
个单位长度 D．向右平移
个单位长度

8. 甲乙两名篮球运动员近几场比赛得分统计成茎叶图如图，甲乙两人的平均数与中位数分别相等，则
为（ ）D

（A）3:2 （B）2:3

（C）3:1 或5:3 （D）3:2 或7:5

9.若椭圆
=1(m>1)与双曲线
有共同的焦点F1,F2,P是两曲线的一个交点，则△F1PF2的面积是 B

A. 3 B. 1 C.
D.

10.如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某四棱锥

的三视图，则该四棱锥的四个侧面中面积最小的一个侧面的面积为 A

A．
B．6 C．
D．

11．在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对应三角形的边长， 若4a
+2b
+3c
=
，则cosB= D

A.
B. -
C.
D. -

12. 设函数f(x)在R上存在导数f'(x),
x∈R,有f(-x)+f(x)=x2, 且在(0,+∞)上f'(x)

A.[-2，2] B.[2，+∞) C.[0，+∞) D.{- ∞,-2}∪[2，+∞)

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题~第（24）题为选考题，考试根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13. 已知函数f(x)＝
（其中e为自然对数的底数），则函数

y=f(f(x)) 的零点等于 e

14. 已知二项式
的展开式中第三项的系数与
的展开式中第二项的系数相等，其中
为锐角，则
=

15. 在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，AB=1，AC=2，∠BAC=60o，体积为
，则三棱锥的外接球的体积等于

16. 若函数
的值域为
，则
的最小值为 . 

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤

17．（本小题满分12分）

已知等比数列{an}的公比q＞1，前n项和为Sn，S3=7，且a1+3，3a2，a3+4成等差数列，数列{bn}满足关系式bn（3n﹣5）=bn﹣1（3n﹣2）其中n≥2，n∈N+，且b1=1．

（Ⅰ）求数列{an}及{bn}的通项公式；

（Ⅱ）设cn=anbn,求数列{cn}的前n项和Sn.

解：（Ⅰ）
S3=7，∴a1+a2 +a3=7．

因为a1+3，3a2，a3+4成等差数列，所以，a1+3，+a3+4=6a2 ，求得a2 =a1?q=2 ①．

又由a1+a2 +a3=7得a1 +a1?q2=5 ②，

由①②可得 2q2﹣5q+2=0，解得q=2，或q=
（舍去），∴a1=1，an =2n﹣1．

另由于{bn}满足关系式bn（3n﹣5）=bn﹣1（3n﹣2），即
=
．

所以由累乘法得
=3n﹣2，而b1=1，所以 bn=3n﹣2 （n≥2），当n=1时也满足，

故bn=3n﹣2．

（Ⅱ）

(1)-(2)得：

18.(本小题满分12分)

为了解某校高三毕业班报考体育专业学生的体重（单位：千克）情况，将他们的体重数据整理后得到如下频率分布直方图．已知图中从左至右前3个小组的频率之比为1：2：3，其中第2小组的频数为12．（I）求该校报考体育专业学生的总人数n；（Ⅱ）已知A，B，C，a是该校报考体育专业的4名学生，A，B,C的体重小于55千克，a的体重不小于70千克．且A,B各有5分体育加分，C,a各有10分体育加分.现从该校报考体育专业的学生中按分层抽样分别抽取体重小于55千克和不小于70 千克的学生共6名，然后再从这6人中抽取体重小于55 千克的学生2人，体重不小于70 千克的学生1人组成3人训练组，训练组中3人的体育总加分记为
，求
的分布列和数学期望.

解：（I）设该校报考体育专业的人数为n，前三小组的频率分别为p1，p2，p3，则由题意可知，

p2=2p1



p3=3p1



p1+p2+p3+(0.0357+0.0125)×5=1









解得p1=0.125，p2=0.25，p3=0.375．又因为p2=0.25=
， 故n=48．
………………4分（II）由题意，报考体育专业的学生中，体重小于55千克的人数为48×0.125=6，记他们分别为A，B，C，D，E，F，体重不小于70千克的人数为48×0.0125×5=3，记他们分别为a，b，c，
……5分

0,5,10,15,20，25 .

由分层抽样的等概率性可知，
取值的概率等于从分层抽样前体重小于55千克的6人中抽取2人，体重不小于70千克的3人中抽取1人组成3人训练组
取值的概率，
……6分

P(
0)=
, P(
5)=
，

P(
10)=
，P(
15)=
，

P(
20)=
，P(
15)=

…………9分

的分布列：

0

5

10

15

20

25



P

















的数学期望E(
)=0

+5

+10

+15

+20

+25

=10
………………12分

19.（本小题满分12分）

如图，已知长方形
中，AB=2AD，
为
的中点．将
沿
折起，

使得平面
平面
．

（Ⅰ）求证：
；

（II）若
是线段
上的中点，求
与平面
所成角的正弦值.

（Ⅱ）建立如图坐标系，

设平面
的法向量为

所以
与平面
所成角的正弦值为

20.（本小题满分12分）

已知动圆Q过定点F（0，-1），且与直线
：y=1相切，椭圆N的对称轴为坐标轴，O点为坐标原点，F是其一个焦点，又点A（0，2）在椭圆N上． （Ⅰ）求动圆圆心Q的轨迹M的标准方程和椭圆N的标准方程； （Ⅱ）若过F的动直线m交椭圆N于B，C点，交轨迹M于D，E两点，设S1为△ABC的面积，S2为△ODE的面积，令Z=S1S2，试求Z的取值范围．

解：（Ⅰ）依题意，由抛物线的定义易得动点Q的轨迹M的标准方程为：x2=-4y……2分

依题意可设椭圆N的标准方程为

显然有c＝1，a＝2∴b＝
∴椭圆N的标准方程为
； ………5分（Ⅱ）显然直线m的斜率存在，不妨设直线m的直线方程为：y=kx-1①联立椭圆N的标准方程
有（3k2+4）x2-6kx-9=0，设B（x1，y1），C（x2，y2）则有|x1?x2|＝
，∴S1＝
|AF|·|x1-x2|＝
， ………8分再将①式联立抛物线方程x2=-4y 有x2+4kx-4=0，设D（x3，y3），E（x4，y4）

得| x3- x4|＝4
，∴S2＝
|OF|·|x3-x4|=2
， ………10分

∴Z＝S1S2＝
＝12(1?
)≥12(1?
)＝9，

∴当k=0时，Zmin=9, 又Z<12 ．

∴Z
[9,12) ………12分

21．（本小题满分12分）

已知函数
，
．

（Ⅰ）若
，求函数
的单调区间；

（Ⅱ）若对任意
都有
恒成立，求实数
的取值范围．

（Ⅲ）设函数
，求证：
(
)．

解：(Ⅰ)
,令
,则
,

则当
时,

单调递减,当
时,

单调递增.

所以有
,所以
…………………4分

(Ⅱ)当
时,
,令
,则
,则
单调递增,

当
即
时,
,
成立;

当
时,存在
,使
,则
减,则当
时,
,不合题意.综上
………………………….8分

(Ⅲ）
，

，

……

．

由此得，

故
（
）．……………….12分

请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

22．（本小题满分10分） 选修4-1：平面几何选讲

如图，过圆E外一点A作一条直线与圆E交B、C两点，且
，作直线AF与圆E相切于点F，连接EF交BC与点D，已知圆E的半径为2，
.

（1）求AF的长；

（2）求证：
.

解(1) 延长BE