豫南九校联盟2015—2016学年下期第一次联考

高三数学（理）试题

组题审核：豫南九校联谊试题研究中心组

（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卷上；

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卷上对应的题目标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效；

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卷上，写在本试卷上无效；

4．考试结束后，将本试卷和答题卷一并交回。

第Ⅰ卷 选择题（共60分）

一、选择题（每小题5分，共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上。）

1．已知集合A＝{x｜
≥16}，B＝{m}，若A∪B＝A，则实数m的取值范围是

A．（－∞，－4） B．[4，＋∞）

C．[－4，4] D．（－∞，－4]∪[4，＋∞）

2．已知复数Z的共轭复数
＝
，则复数Z的虚部是

A．
B．
i C．－
D．－
i

3．若f（x）＝
，则f（f（
））＝

A．－2 B．－3 C．9 D．

4．若{
}为等差数列，
是其前n项和，且S11＝
，{
}为等比数列，
·
＝
，

则tan（
＋
）的值为

A．
B．
C．
D．

5．执行如右图所示的程序框图，则输出的结果是

A．
B．

C．
D．

6．已知点P是抛物线
＝4y上的动点，点P在x轴上

的射影是Q，点A的坐标是（8，7），则｜PA｜＋

｜PQ｜的最小值为

A．7 B．8

C．9 D．10

7．已知
表示的平面区域为D，若
∈D，

2x＋y≤a为真命题，则实数a的取值范围是

A．[5，＋∞） B．[2，＋∞）

C．[1，＋∞） D．[0，＋∞）

8．如右图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的侧面积

是

A．3＋
＋
B．

C．2＋
＋
D．5＋

9．已知双曲线M：
（a＞0，b＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离为
（c

为双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率e为

A．
B．
C．
D．

10．四面体的一条棱长为x，其余棱长为3，当该四面体体积最大时，经过这个四面体所有

顶点的球的表面积为

A．
B．
C．
D．15π

11．设x，y∈R，则
＋
的最小值为

A．4 B．16 C．5 D．25

12．当｜a｜≤1，｜x｜≤1时，关于x的不等式｜
－ax－
｜≤m恒成立，则实数m的

取值范围是

A．[
，＋∞） B．[
，＋∞） C．[
，＋∞） D．[
，＋∞）

第Ⅱ卷 非选择题（共90分）

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共计20分。）

13．设命题P：
∈(0，＋∞)，
＜
，则命题
为___________．

14．设a＝
，则二项式
展开式中含
项的系数是________．

15．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则｜
＋3
｜的最小值为____________．

16．已知函数f（x）＝
，若H（x）＝ [f（x）]2－2bf（x）＋3有8个不同的零点，则实数b的取值范围为______________．

三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步

骤。）

17．（本小题满分12分）

如图，在△ABC中，点D在BC边上，

∠CAD＝
，AC＝
，cos∠ADB＝－
．

（Ⅰ）求sin∠C的值；

（Ⅱ）若BD＝5，求△ABD的面积．

18．（本小题满分12分）

心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如下表：（单位：人）

几何题

代数题

总计



男同学

22

8

30



女同学

8

12

20



总计

30

20

50



 （Ⅰ）能否据此判断有97．5％的把握认为视觉和空间能力与性别有关?

（Ⅱ）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5－7分钟，乙每次解答一

道几何题所用的时间在6－8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答

完的概率．

（Ⅲ）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，

记甲、乙两女生被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）．

附表及公式：

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，

AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝2
，BC

＝4
，PA＝2，点M在PD上．

（Ⅰ）求证：AB⊥PC；

（Ⅱ）若二面角M－AC－D的大小为45°，求BM与平面PAC所成角的正弦值．

20．（本小题满分12分）

已知椭圆形：
（a＞b＞0）的离心率为
，其左顶点A在圆O：

上．

（Ⅰ）求椭圆W的方程；

（Ⅱ）若点P为椭圆W上不同于点A的点，直线AP与圆

O的另一个交点为Q．是否存在点P，使得
＝

3? 若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

21．（本小题满分12分）

已知函数f（x）＝
－ax．

（Ⅰ）若函数f（x）在（1，＋∞）上是减函数，求实数a的最小值；

（Ⅱ）已知
表示f（x）的导数，若
，
∈[e,
]（e为自然对数的底数），使

f（x1）－
≤a成立，求实数a的取值范围．

【选考题】

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，答题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，直线AB经过圆O上的点C，并且OA＝OB，CA

＝CB，圆O交直线OB于点E、D，其中D在线段OB

上．连结EC，CD．

（Ⅰ）证明：直线AB是圆O的切线；

（Ⅱ）若tan∠CED＝
，圆O的半径为3，求OA的长．

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线l：
（t为参数）与曲线C：

（θ为参数）相交于不同的两点A，B．

（Ⅰ）若α＝
，求线段AB中点M的坐标：

（Ⅱ）若｜PA｜·｜PB｜＝｜OP｜2，其中P（2，
），求直线l的斜率．

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数f（x）＝｜x－3｜．

（Ⅰ）若不等式f（x－1）＋f（x）＜a的解集为空集，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）若｜a｜＜1，｜b｜＜3，且a≠0，判断
与f（
）的大小，并说明理由．

豫南九校2015—2016学年下期第一次联考

高三理数参考答案

一、选择题

D
A
C 4. C 5.C 6. C

7. A
C
C
D
B
B

二、填空题

-192


答案：

三、解答题

解：（Ⅰ）因为
，

所以
．

又因为
，所以
．

所以

． …………6分

（Ⅱ）在
中，由
，得
．

所以
． …………12分

解：(1)由表中数据得
的观测值

…………2分

所以根据统计有
的把握认为视觉和空间能力与性别有关.………3分

(2) 设甲、乙解答一道几何题的时间分别为
分钟，

则基本事件满足的区域为
(如图所示)

设事件
为“乙比甲先做完此道题”

则满足的区域为
……………………………………5分

即乙比甲先解答完的概率为
……………………7分

(3) 由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有
种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有
种；恰有一人被抽到有
种；两人都被抽到有
种

可能取值为
， …………………………………………8分

，
，

……………………………………10分

的分布列为：

0

1

2













………………11分

……………………………………12分

解：(1)取
中点
，连结
,则
，所以四边形
为平行

四边形，故
，又
,所以
,

故
,又
，
,所以
,

故有
…………5分

(2)如图建立空间直角坐标系
，则
设
,

易得

设平面
的一个法向量为
，

则

令
，

即
………………8分

又平面
的一个法向量为
，

，解得
，

即
，
，

而
是平面
的一个法向量，

设直线
与平面
所成的角为
，

则
.

故直线
与平面
所成的角的正弦值为
…………12分

解：（1）因为椭圆
的左顶点A在圆
上，令
，得
，所以
.又离心率为
，所以
，所以
,所以
,

所以
的方程为
.
……………………………………4分

（2）设点
，设直线
的方程为
，

与椭圆方程联立得
,

化简得到
, 因为
为方程的一个根，

所以
，所以

所以
. ………………………………6分

因为圆心到直线
的距离为
，

所以
, …………………………8分

因为
，

代入得到

显然
，所以不存在直线
，使得
. ……………………12分

21.解：（1）由已知得函数
的定义域为
，

而
，又函数
在
上是减函数

∴
在
上恒成立 …………………………………2分

∴当
时，

由
=

∴当
，即
时，