河南省郑州市2016届高三第二次模拟考试

数学（理）试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡．

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．）

1．已知集合A＝{x｜y＝
}，B＝{x｜－1≤2x－1≤0}，则CRA∩B＝

A．（4，＋∞） B．[0，
] C．（
，4] D．（1，4]

2．命题“
≤0，使得
≥0”的否定是

A．
≤0，
＜0 B．
≤0，
≥0

C．
＞0，
＞0 D．
＜0，
≤0

3．定义运算
＝ad－bc，则符合条件
＝0的复数
对应的点在

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

4．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出

的值是

A．2014 B．2015

C．2016 D．2017

5．曲线f（x）＝
－x＋3在点P处的切线平

行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为

A．（1，3）

B．（－1，3）

C．（1，3）和（－1，3）

D．（1，－3）

6．经过点（2，1），且渐近线与圆

相切的双曲线的标准方程为

A．
B．
C．
D．

7．将函数f（x）＝sin（2x－
）的图象向右平移
个单位后得到函数g（x），则g（x）具

有性质

A．最大值为1，图象关于直线x＝
对称

B．在（0，
）上单调递减，为奇函数

C．在（
，
）上单调递增，为偶函数

D．周期为π，图象关于点（
，0）对称

8．设数列{
}满足：a1＝1，a2＝3，且2n
＝（n－1）
＋（n＋1）
，则a20的值

是

A．4
B．4
C．4
D．4

9．如图是正三棱锥V－ABC的正视图、侧视图和俯视图，则其侧视图的面积是

A．4 B．5 C．6 D．7

10．已知定义在R上的奇函数y＝f（x）的图像关于直线x＝1对称，当－1≤x＜0时，f（x）

＝－
，则方程f（x）－
＝0在（0，6）内的零点之和为

A．8 B．10 C．12 D．16

11．对
∈R，n∈[0，2]，向量c＝（2n＋3cosα，n－3sinα）的长度不超过6的概率为

A．
B．
C．
D．

12．已知A、B、C为△ABC的三个内角，向量m满足｜m｜＝
，且m＝（
，

），若A最大时，动点P使得｜
｜、｜
｜、｜
｜成等差数列，则
的最大值是

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13—21题为必考题,每个试题考生都必须作答．第22－24题为选考题．考生根据要求作答．

二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分．）

13．已知{
}为等差数列，公差为1，且a5是a3与a11的等比中项，
是{
}的前n项和，则S12的值为__________．

14．已知正数x，y满足
＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是___________．

15．已知x，y满足
若目标函数z＝3x＋y的最大值为10，则z的最小值为____________．

16．在正三棱锥V—ABC内，有一半球，其底面与正三棱锥的底面重合，且与正三棱锥的三个侧面都相切，若半球的半径为2，则正三棱锥的体积最小时，其高等于__________．

三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足cos2C－cos2A＝2sin（
＋

C）·sin（
－C）．

（Ⅰ）求角A的值；

（Ⅱ）若a＝
且b≥a，求2b－c的取值范围．

18．（本小题满分12分）

为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度，现在某市进行调查，随机抽调了50人，他们年龄的频数分布及支持“生育二胎”人数如下表：

（Ⅰ）由以上统计数据填下面2乘2列联表，并问是否有99％的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异；

（Ⅱ）若对年龄在[5，15），[35，45）的被调查人中各随机选取两人进行调查，记选中的4人中不支持“生育二胎”人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．

参考数据：

19．（本小题满分12分）

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，

∠BCD＝120°，四边形BFED为矩形，平面BFED⊥

平面ABCD，BF＝1．

（Ⅰ）求证：AD⊥平面BFED；

（Ⅱ）点P在线段EF上运动，设平面PAB与平面ADE

所成锐二面角为θ，试求θ的最小值．

20．（本小题满分12分）

已知曲线C的方程是
（m＞0，n＞0）,且曲线C过A（
，
），B（
，
）两点，O为坐标原点．

（Ⅰ）求曲线C的方程；

（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2）是曲线C上两点，且OM⊥ON，求证：直线MN恒与一个定圆相切．

21．（本小题满分12分）

已知函数f（x）＝
．

（Ⅰ）若m∈（－2，2），求函数y＝f（x）的单调区间；

（Ⅱ）若m∈（0，
]，则当x∈[0，m＋1]时，函数y＝f（x）的图象是否总在直线y＝x上方?请写出判断过程．

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，正方形ABCD边长为2，以A为圆心、DA为半径的

圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，连结BF并延长交

CD于点E．

（Ⅰ）求证：E为CD的中点；

（Ⅱ）求EF·FB的值．

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

平面直角坐标系xOy中，曲线C：
．直线l经过点P（m，0），且倾斜角为
．以O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．

（Ⅰ）写出曲线C的极坐标方程与直线l的参数方程；

（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A，B两点，且｜PA｜·｜PB｜＝1，求实数m的值．

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数f（x）＝｜x＋6｜－｜m－x｜（m∈R）．

（Ⅰ）当m＝3时，求不等式f（x）≥5的解集；

（Ⅱ）若不等式f（x）≤7对任意实数x恒成立，求m的取值范围．

参考答案

一、选择题

BABDC ABDCC CA

二、填空题 13.
, 14.3, 15.5, 16.

三、解答题

17．解：（1）由已知得

，………2分

化简得
，故
．………………………………5分

（2）由正弦定理
，得
，…7分

故
=

……………………………9分

因为
，所以
，
，………11分

所以
． ………12分

18.解：(Ⅰ)2乘2列联表

年龄不低于45岁的人数

年龄低于45岁的人数

 合计



支持





 32



不支持





 18



合 计

10

40

 50



………………………………………………2分

＜
…………………4分

所以没有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异.

………………………………………………5分

(Ⅱ)
所有可能取值有0, 1,2,3, ………………………6分

……………………10分

所以
的分布列是



0

1

2

3
















所以
的期望值是
………………………12分

19.解：(1)在梯形
中，

∵
∥
，

∴
∴
………………………2分

∴
∴
∵平面
平面

平面
平面

，

∴
………………………4分

∴
又
∴
………………………6分

(2)由(1)可建立分别以直线
为
轴，
轴，
轴的，如图所示的空间直角坐标系，令
(
≤
≤
),则

∴

………………………8分

设
为平面
的一个法向量，

由
得

取
则
………………………10分

∵
是平面
的一个法向量,

∴

∵
≤
≤
,∴当
=
时，
有最大值
.

∴
的最小值为
………………………12分

20.解：（1）由题可得：
解得

所以曲线
方程为
. ………………………4分

（2）由题得：


………………………6分

原点
到直线
的距离

………………………8分

由
得：

所以

=
………………………11分

所以直线
恒与定圆
相切。………………………12分

21.解：（1）函数定义域为

………………………1分

①

②

③

………………………4分

综上所述，①

②

③

……………………5分

（2）当
时，由（1）知

令
.

当
时，
，所以函数
图象在
图象上方.

………………………6分

当
时，函数
单调递减，所以其最小值为
，
最大值为
，所以下面判断
与
的大小，即判断
与
的大小，

其中
， ………………………8分

令
，
，令