郑州市2016年高中毕业年级第三次质量预测

理科数学试题卷

选择题

设复数
则a+b=（）

A. 1 B. 2 C. －1 D. －2

答案：A

解析：

命题“
”的否定是（ ）

A.不存在
B.存在
C.
D.

答案：D

解析：考查存在量词的否定

已知集合
，
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

答案：C

解析：M集合求函数定义域
，N集合求函数值域

下列说法中正确的是

①设随机变量X服从二项分布
，则

②已知随机变量X服从正态分布
且
则

③

④

A. ①②③ B. ②③④ C. ②③ D. ①③

答案：A

解析：考查二项分布、正态分布以及定积分的几何意义

只有④中方差的计算有误

一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A.
B.
C.
D.

答案：C

解析：这是正四棱锥和圆柱的组合体

已知P是双曲线
上任意一点，过点P分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A,B，则
的值是（）

A.
B.
C.
D. 不能确定

答案：A

解析：点P选取双曲线的顶点，则顶点到渐近线的距离均为b/e

，因此两垂线夹角120度

数量积

某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S值是（）

A.1007 B.2015 C.2016 D.3024

答案：D

解析：

若不等式组
表示的区域为Ω，不等式
表示的区域为Γ，向Ω区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在Γ区域中芝麻数约为

A.114 B.10 C.150 D.50

答案：A

解析：考查几何概型，绘图求出面积比

Ω区域面积

Γ区域与Ω区域的公共面积

入选概率为面积比

已知球的直径CS=4，A,B在球面上，AB=2，
则棱锥S-ABC的体积为（ ）

A.
B.
C.
D.

答案：C

解析：考查二面角

如图所示，OA=OB=AB=2，且SC⊥OAB平面

因此体积

为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（ ）

A.150 B.180 C. 200 D.280

答案：A

解析：考查鸽巢问题

已知函数
则要得到其导函数的图像，只需将函数f(x)的图像

A. 向左平移
个单位 B. 向右平移
个单位

C. 向左平移
个单位 D. 向右平移
个单位

答案：C

解析：导函数

已知函数
，把函数
的偶数零点按从小到大的顺序排列成一个数列，该数列的前10项的和等于

A. 45 B. 55 C. 90 D. 110

答案：C

解析：当
时，令
解得x=－1或0，按要求取偶数零点

当x>0时，
解得x=2，
，依次类推

因此这是首项为0，公差为2的等差数列

故有

填空题

若
则
___

答案：－31

解析：令x=0取首项32

令x=1取前n项和为1，作差得解

已知为数列
，
满足
，
，
，则
___

答案：

解析：首先确定首项

其次换元
，

因此

函数
有两个极值点，则a的取值范围为___

答案：

解析：求导
，二阶导
得一阶导函数有极大值点

由于
，因此原函数要有两个极值点，只要

解得

设函数
，若存在f(x)的极值点满足
，则m的取值范围是______

答案：

解析：
，存在极值点满足

因此
，即

解答题

设函数
在x=π处取得最小值，

且满足
.

(1)求φ的值；

(2)在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，已知
，求角C.

解析：(1)首先化简原函数

由
，解得

(2)

由正弦定理得

当
时，

当
时

某电视台推出一档游戏类综艺节目，选手面对1-5号五扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐，选手需正确回答这首歌的名字，回答正确，大门打开，并获得相应的家庭梦想基金，回答每一扇门后，选手可自由选择带着目前奖金离开，还是继续挑战后面的门以获得更多的梦想基金，但是一旦回答错误，游戏结束并将之前获得的所有梦想基金清零；整个游戏过程中，选手有一次求助机会，选手可以询问亲友团成员以获得正确答案.

1-5号门对应的家庭梦想基金依次为3000元，6000元，8000元、12000元、24000元（以上基金金额为打开大门后的累积金额）设某选手正确回答每扇门的歌曲名字的概率均为Pi且
，亲友团正确回答每一扇门的歌曲名字的概率均为1/5，该选手正确回答每一扇门的歌名后选择继续挑战后面的门的概率均为1/2；

(1)求选手在第三扇门使用求助且最终获得12000元家庭梦想基金的概率；

(2)若选手在整个游戏过程中不使用求助，且获得的家庭梦想基金数额为X元，求X的分布列和数学期望。

解析：(1)记事件“选手正确回答第i扇门歌曲”为Ai

记事件“亲友团正确回答歌曲名字”为B

记事件“回答正确后选择继续挑战”为C

则对应事件的概率分别为

因此题目所求概率为

注意：第三扇门选手答不出才求助

(2)X可能的取值有：0,3000,6000,8000,12000,24000

对立事件

因此X的分布列为

X

0

3000

6000

8000

12000

24000



P

31/96

5/12

1/6

1/16

1/48

1/96



故有

注意：最后一次答对无需再选择

如图，四棱柱ABCD-A’B’C’D’中，侧棱AA’⊥ABCD，AB//DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA’=AB=2，E为棱AA’的中点.

(1)求证：B’C’⊥CE；

(2)求二面角B’-CE-C’的余弦值；

(3)设点M在线段C’E上，且直线AM与平面ADD’A’所成角的正弦值为
，求线段AM的长.

解析：(1)依题意得，直四棱柱的底面为直角梯形

以A为原点建系，则有

，由数量积为0，垂直得证

(2)设平面B’CE法向量为m，满足

解得

由(1)知B’C’⊥CE，且B’C’⊥CC’，故B’C’是平面C’CE的一个法向量

二面角余弦值

(3)设
，则

平面ADD’A’的一个法向量为n=(0,0,1)，故

整理得

取
，

已知F1,F2分别为椭圆
的上下焦点，其中F1也是抛物线
的焦点，点M是椭圆与抛物线在第二象限的交点，且MF1=5/3.

(1)求椭圆的方程；

(2)已知点P(1,3)和圆
，过点P的动直线l与圆O相交于不同的两点A,B，在线段AB取一点Q，满足
，
，
，探究是否存在一条直线使得点Q总在该直线上，若存在求出该直线方程。

解析：(1)焦点
，设交点
，则

，代入抛物线方程得

且
解得

(2)设
，则

由
得
和

由
得
和

整理得
和

两式相乘得

两式求和得

A,B两点均满足
，故有

即点Q总在该直线上

设函数

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)若f(x)有两个极值点是
，过点
的直线的斜率为k，问是否存在m使得k=2-2m？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由。

解析：(1)首先确定定义域x>0

，令

当
时，即

，原函数在定义域上单调递增

当m<-1时，
，两根均为负，原函数在定义域上单调递增

当m>1时，
，两根均为正，故
，其余区间均单调递增

(2)由(1)知函数有两个极值点时m>1且

AB斜率

若k=2-2m则

两根均为正且
，若
，则

消元得

整理得

由(1)知
在区间
上单调递增

因此
，函数没有零点，故这样的m值不存在

选作题（极坐标与参数方程）

如图，D,E分别为△ABC边AB,AC的中点，直线DE交△ABC的外接图于F,G两点，若CF//AB.

(1)证明CD=BC；

(2)

证明　(1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC.又已知CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF＝BD＝AD.而CF∥AD，连结AF，所以四边形ADCF是平行四边形，故CD＝AF.

因为CF∥AB，所以BC＝AF，故CD＝BC.———————5分

(2)因为FG∥BC，故GB＝CF.

由(1)可知BD＝CF，所以GB＝BD.所以∠BGD＝∠BDG.

由BC＝CD知∠CBD＝∠CDB.

而∠DGB＝∠EFC＝∠DBC，

故△BCD∽△GBD.———————10分

在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l上两点M,N的极坐标分别为
，圆C的参数方程为
.

(1)设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；

(2)判断直线l与圆C的位置关系。

解析：(1)极坐标与直角坐标相互转换

，因此MN中点

故直线OP的直角方程为

(2)由截距式得到直线MN的方程为

圆的直角方程为

圆心
到直线MN的距离

由于d

24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数f（x）=|3x-1|+ax+3．（1）若a=1，解不等式f（x）≤4；（2）若函数f（x）有最小值，求实数a的取值范围．

24．

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