2015学年浙江省第二次五校联考

数学（文科）试题卷

本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分150分, 考试时间120分钟．

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．

参考公式：

柱体的体积公式V=Sh 其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高

锥体的体积公式V=
Sh 其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高

台体的体积公式
其中S1,S2分别表示台体的上,下底面积

球的表面积公式S=4πR2 其中R表示球的半径，h表示台体的高

球的体积公式V=
πR3 其中R表示球的半径

选择题部分 （共40分）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）

1．定义集合
，则
（ ▲ ）

A．
B．
C．
D．

2．在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，
，且满足
,则
等于（ ▲ ）

A．
B．
C．
D．

3．
为不同的平面，
为三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ▲ ）

A．若
，则
B．若
，则

C．若
，则
D．若
，则

4．设函数
，若函数
在
内恰有4个不同的零点，则实数
的取值范围是（ ▲ ）

A．
B．
C．
D．

5．已知
是椭圆
的左、右焦点，以
为直径的圆与椭圆在第一象限的交点为
，过点
向
轴作垂线，垂足为
，若
，则此椭圆的离心率为（ ▲ ）

A．
B．
C．
D．

6．已知数列
是等比数列，则“
”是“
为递增数列”（ ▲ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

7．对任意的
，不等式
恒成立，则实数
的取值范围是（ ▲ ）

A．
B．
C．
D．

8．如图，边长为1的菱形
中，
，沿
将△
翻折，得到三棱锥
，则当三棱锥
体积最大时，异面直线
所成的角的余弦值为（ ▲ ）

A．
B．
C．
D．

非选择题部分（共110分）

二、填空题（本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每空4分，共36分．）

9．已知空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是 ▲ ；

几何体的表面积是 ▲ ．

10．函数
的最小正周期是 ▲ ；

函数
的最大值是 ▲ ．

11．已知数列
满足
，
，则
▲ ；通项公式
▲ ．

12．若实数
满足不等式
，则
的最大值是 ▲ ；
的最小值是 ▲ ．

13．已知双曲线的渐近线方程为
，其图象过点
，
，
是其两个焦点，若双曲线上的点
满足
，则
___ ▲____．

14．直线
与直线
相交于点
，则
到点
的距离
的取值范围是

▲ ．

15．已知
为△ABC的垂心，且
,则
角的值为 ▲ ．

三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

16．（本题满分14分）已知函数
的定义域为
，值域为
，图象经过点
，直线
是其图象的一条对称轴，且
在
上单调递减．

( I ) 求函数
的表达式．

（II） 已知
，且
，求
的值．

17．(本题满分15分) 如图，在四棱柱
，底面
是边长为
的菱形，
，
，且
．

( I ) 证明：
．

（II）求直线
与平
所成角．

18．(本题满分15分)已知正项等差数列
满足：
，其中
是数列
的前
项和．

( I ) 求数列
的通项公式；

（II）设数列
满足：
，求数列
的前
项的和
．

19．(本题满分15分)已知抛物线
，焦点为
，过点
且斜率为正数的直线交抛物线于
两点，且
．

( I ) 求直线
的方程；

（II）设点
是抛物线上
上的动点，

求
面积的最大值．

20．（本小题满分15分）设函数

．

( I )若
，函数
在
的值域是
，求函数
的表达式；

（II）令
，若存在实数
，使得
同时成立，求
的取值范围．

2015学年浙江省第二次五校联考

数学（文科）答案

一、选择题

BADA CCDB 二、填空题

9 ．
10．
11
12．

13．
14．
15．

三、解答题

16．解：( I ) （1）由于函数
定义域为
，值域为
，且
，则
，得
（2）由于图象过点
，代入，得
，即
，又因为
，故

（3）由于直线
是
图象的一条对称轴，则
，则
，即
，且
，故

（4）由于
在
上单调递减，故
，得
，故只有当
时，
满足条件．

综上所述，

（II）
，即

因为
，所以
，故
，则

而
，

又因为
，则

17． 解：( I )证明：∵
是菱形 ∴AC⊥BD

又∵
∴
BD，∴BD⊥面
,即BD⊥面
，而BD∈

∴

（II）法1：设四棱柱上下底面平行四边形的对角线交点分别是
，连接
，由于
为平行四边形，易知
与
相交，且交于各自的中点，设交点为E，过
作
的垂线，垂足为F

∵

,
,
∈
∴
⊥
[故直线
与
所成角就是∠

∵底面
是边长为
的菱形，
，

∴OC=
AC=
，∠
，OE=

, ∴
∴

故∠

即直线
与
所成角为

（法2）设底面菱形对角线的交点为O，由于AC⊥BD，如图建立空间直角坐标系O-xyz

则计算可知，OC=
,

由于
的中点重合，故求得

则
，设
的法向量为

则
，令
，则
，故

则设直线