2015学年浙江省第二次五校联考

数学（理科）试题卷

本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页, 选择题部分1至2页, 非选择题部分3至4页．满分150分, 考试时间120分钟．

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．

选择题部分（共40分）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）

1.定义集合
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

2.
的三内角
的对边分别是
，则“
”是“
为钝角三角形”的（ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

3.对任意的
，不等式
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

4.已知棱长为1的正方体
中，下列数学命题不正确的是（ ）

A.平面
平面
，且两平面的距离为

B.点
在线段
上运动，则四面体
的体积不变

C.与所有12条棱都相切的球的体积为

D.
是正方体的内切球的球面上任意一点，
是
外接圆的圆周上任意一点，则
的最小值是

5.设函数
，若函数
在
内恰有4个不同的零点，则实数
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

6.已知
是双曲线
的左右焦点，以
为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为
，过点
向
轴作垂线，垂足为
，若
，则双曲线的离心率为（ ）

A.
B.
C.
D.

7.已知
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

8. 如图，棱长为
的正方体
，点
在平面
内，平面
与平面
所成的二面角为
，则顶点
到平面
的距离的最大值是（ ）

A.
B.

C.
D.

非选择题部分（共110分）

二、填空题（本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每题4分，共36分）

已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是 ；几何体的体积是 。

10.若
是函数
的一条对称轴，则函数
的最小正周期是 ；函数
的最大值是 。

11. 已知数列
满足：
，则
；设
，数列
前
项的和为
，则
。

12.已知整数
满足不等式
，则
的最大值是 ；
的最小值是 。

13.已知向量
满足：
，向量
与
夹角为
，则
的取值范围是

14.若
，其中
，且
，则
的表达式是

15.从抛物线
上的点
向圆
引两条切线分别与
轴交
两点，则
的面积的最小值是

三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16.（本小题满分15分）如图，四边形
，
，
。

（Ⅰ）若
，求
的面积；

（Ⅱ）若
，求
的最小值。

（本小题满分15分）如图（1）
分别是
的中点，
，沿着
将
折起，记二面角
的度数为
。

（Ⅰ）当
时，即得到图（2）求二面角
的余弦值；

（Ⅱ）如图（3）中，若
，求
的值。

（本小题满分15分）设函数
，
，对任意的
都有
。

（Ⅰ）求
的最大值；

（Ⅱ）求证：对任意的
，都有
。

（本小题满分15分）已知椭圆
的离心率为
，焦点与短轴的两顶点的连线与圆
相切。

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）过点
的直线
与
相交于
两点，在
轴上是否存在点
，使得
为定值？如果有，求出点
的坐标及定值；如果没有，请说明理由。

（本小题满分14分）已知正项数列
满足：
，其中
为数列
的前
项的和。

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）求证：
。

2015学年浙江省第二次五校联考

数学（理科）答案

1.B 2.A 3.D 4.D 5.A 6.C 7.B 8.B

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.（Ⅰ）∵
四点共圆，∴

，即

所以
，故

7分

（Ⅱ）设
，则

∴

当
时取到。 15分

（Ⅰ）∵平面
平面
，且
，∴
平面

过点
向
作垂线交
延长线于
，连接
，则
为二面角
的平面角

设
，

，

7分

（Ⅱ）过点
向
作垂线，垂足为
，如果
，则根据三垂线定理有
，因
为正三角形，故
，则
，而

故
15分

（Ⅰ）∵