2016届甘肃省天水市一中高三上学期期末考试

数学（文）试题

命题: 汪生武 张硕光 审核：张硕光

本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．

第一卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．设集合
，则
=（ ）

A．
B．
C．
D．

2．复数
，则复数
的模是（ ）

A．
B．
C．
D．

3．下列四个图各反映了两个变量的某种关系，其中可以看作具有较强线性相关关系的是（ ）

A．①③ B．①④ C．②③ D．①②

4．已知
，
，若
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

5．设
是等差数列
的前
项和，若
，则
=（ ）．

A．5 B．7 C．9 D．11

6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　)．

A．3π B．4π C．2π＋4 D．3π＋4

7．若动圆与圆
相外切，且与直线x=2相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）

A ． y2+12x-12=0 B ． y2-12x+12=0

C ． y2+8x=0 D ． y2-8x=0

8．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）

A．4 B．9 C．7 D．5

9．已知函数
，则下列说法正确的为（ ）

A．函数
的最小正周期为

B．函数
的最大值为

C．函数
的图象关于直线
对称

D．将
图像向右平移
个单位长度，再向下平移
个单位长度后会得到一个奇函数图像

10．利用一个球体毛坯切削后得到一个四棱锥P—ABCD，其中底面四边形ABCD是边长为1的正方形，PA=1，且
，则球体毛坯体积的最小值应为（ ）

D.

11．若
是
上的增函数，那么
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

12．已知f（x）＝5－2|x|，g（x）＝x2－2x，F（x）＝
，

则F（x）的最值是（ ）

A．最大值为3，最小值
B．最大值为
，无最小值

C．最大值为3，无最小值 D．既无最大值，又无最小值

第二卷

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）

13．如果函数y=f(x)=2x3－3x2＋a的极大值为6，那么a等于__________．

14．若
满足不等式组
，则
的最小值是__________．

15．焦点为
，且与双曲线
有相同的渐近线的双曲线方程是__________．

16．设
的外心，且满足
则
．

三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤）

17．（本小题满分12分）在锐角
中,
分别是角
所对的边，且
．

（1）确定角
的大小；

（2）若
，且
的面积为
，求
的值．

18．（本小题满分12分）某校为调研学生的身高与运动量之间的关系，从高二男生中随机抽取100名学生的身高数据，得到如下频率分布表：

组号

分组

频数

频率



第1组

[160，165)

10

0．100



第2组

[165，170)

①

0．150



第3组

[170，175)

30

②



第4组

[175，180)

25

0．250



第5组

[180，185)

20

0．200



合计

100

1．00



（1）求频率分布表中①、②位置相应的数据；

（2）为了对比研究学生运动量与身高的关系，学校计划采用分层抽样的方法从第2、5组中随机抽取7名学生进行跟踪调研，求第2、5组每组抽取的学生数？

（3）在（2）的前提下，学校决定从这7名学生中随机抽取2名学生接受调研访谈，求至少有1名学生来自第5组的概率？

19．（本小题满分12分）如图，多面体
中，
两两垂直，且
，
．

（1）若点
在线段
上，且
，求证：
；

（2）求多面体
的体积．

20．（本小题满分12分）已知椭圆C的对称中心为原点
，焦点在x轴上，左右焦点分别为
和
，且|

|=2，点（1，
）在该椭圆上．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过
的直线
与椭圆C相交于A，B两点，若
A
B的面积为
，求以
为圆心且与直线
相切圆的方程．

21. （本小题满分12分）已知函数
，在
处的切线与直线
垂直，函数
．

（1）求实数
的值；

（2）若函数
存在单调递减区间，求实数
的取值范围；

（3）设
是函数
的两个极值点，若
，求
的最小值．

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号（在答题卡上将你所选题号涂黑）.

22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图所示,锐角三角形ABC的内心为I,过点A作直线BI的垂线,垂足为H,点E为圆I与边CA的切点.

(1)求证A,I,H,E四点共圆;

(2)若∠C=50°,求∠IEH的度数.

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，以原点为极点，
轴为极轴建立极坐标系，曲线
的方程为
（
为参数），曲线
的极坐标方程为
,若曲线
与
相交于
、
两点．

(1)求
的值；

(2)求点
到
、
两点的距离之积．

24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

（1）已知实数
满足
，证明：
;

（2）已知a>0，求证：
－
≥a＋
－2.

2016届甘肃省天水市一中高三上学期期末考试

数学（文科）

命题: 汪生武 张硕光 审核：张硕光

本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．D 2． B3． B4． D5． A6． D7．A 8． B．9． D10． D.11． B12． C

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）

13． 6 14．
． 15．
16．

三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤）

17．（本小题满分12分）

【答案】（1）
（2）

【解析】

试题分析：（1）将
利用正弦定理将边化为角，得到关于C的三角函数，求解C角大小；（2）由C角c边利用余弦定理可得到关于
的方程，利用三角形面积可得关于
的另一方程，解方程组可得到
的值

试题解析：（1）
，由正弦定理

由
是锐角三角形，

（2）

，

，将
代入得到
，

考点：1．正余弦定理解三角形；2．三角形面积公式

18．（本小题满分12分）

（1）求频率分布表中①、②位置相应的数据；

（2）为了对比研究学生运动量与身高的关系，学校计划采用分层抽样的方法从第2、5组中随机抽取7名学生进行跟踪调研，求第2、5组每组抽取的学生数？

（3）在（2）的前提下，学校决定从这7名学生中随机抽取2名学生接受调研访谈，求至少有1名学生来自第5组的概率？

【答案】（1）
，
（2）第2、5组分别抽取3人、4人．（3）

【解析】

试题分析：（1）由频数、频率及总数关系得第2组的频数为
，第3组的频率为
（2）分层抽样就是按比例抽样：
，
（3）利用枚举法列出从这7名学生中随机抽取2名学生的总数：21种，再从中挑出至少有1名学生来自第5组的个数：18种，也可从其对立事件出发，最后根据古典概型概率求法求概率

试题解析：（1）由频率分布表可知，

第2组的频数为
（人），

第3组的频率为
；

（2）因为第2、5组共有35名学生，所以利用分层抽样在35名学生中抽取7名学生，每组分别为：第3组：
(人)，

第5组：
(人)，

所以第2、5组分别抽取3人、4人．

（3）设第2组的3位同学为
，第5组的4位同学为
，

则从7位同学中抽2位同学有21种可能情况：

其中第5组的4位同学
中至少有一位同学入选的有18种，

故至少有1名学生来自第5组的概率为
．

考点：分层抽样，古典概型概率

19．（本小题满分12分）

【答案】（Ⅰ）分别取
的中点
，连结
，则有
．∵
∴
又∵
∴
∴四边形
是平行四边形

∴
，又∵
∴
平面
．（Ⅱ）
．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）分别取
的中点
，连结
，由已知条件能推导出四边形
是平行四边形，由此能证明
平面
；（Ⅱ）首先将多面体
分割为四棱锥
和三棱锥
，然后分别求出四棱锥
和三棱锥
的体积，最后将其作加法即可得出所求的结论．

试题解析：（Ⅰ）分别取
的中点
，连结
，则有
．∵
∴
又∵
∴
∴四边形
是平行四边形

∴
，又∵
∴
平面
．

（Ⅱ）因为多面体
的体积可分割为四棱锥
和三棱锥
的体积之和，而

四棱锥
的体积为：
，三棱锥
的体积为
，所以多面体
的体积
．

考点：1、线面平行的判定定理；2、空间几何体的体积．

20．（本小题满分12分）

【答案】 (1)
(2)

解析：（1）椭圆C的方程为

（2）①当直线
⊥x轴时，可得A（-1，-
），B（-1，
），
A
B的面积为3，不符合题意．

②当直线
与x轴不垂直时，设直线
的方程为y=k（x+1）．代入椭圆方程得：

，显然
＞0成立，设A
，B
，则

，
，可得|AB|=

又圆
的半径r=
，∴
A
B的面积=
|AB| r=
=
，化简得：17
+
-18=0，得k=±1，∴r =
，圆的方程为

21. （本小题满分12分）

【答案】 (1) a=1（2）{b|b＞3}（3）
﹣2ln2

解析：解：（1）∵f（x）=x+alnx，

∴f′（x）=1+
，∵f（x）在x=1处的切线l与直线x+2y=0垂直，

∴k=f′（x）|x=1=1+a=2，解得a=1．

（2）∵g（x）=lnx+
﹣（b﹣1）x，

∴g′（x）=
，x＞0，由题意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，

即x+
+1﹣b＜0有解，∵定义域x＞0，∴x+
≥2，x+
＜b﹣1有解，

只需要x+
的最小值小于b﹣1，∴2＜b﹣1，解得实数b的取值范围是{b|b＞3}．

（3）∵g（x）=lnx+
﹣（b﹣1）x，

∴g′（x）=
=0，∴x1+x2=b﹣1，x1x2=1

∴g（x1）﹣g（x2）=ln
﹣
（
﹣
）

∵0＜x1＜x2，∴设t=
，0＜t＜1，令h（t）=lnt﹣
（t﹣
），0＜t＜1，

则h′（t）=﹣
＜0，∴h（t）在（0，1）上单调递减，

又∵b≥
，∴（b﹣1）2≥
，∵0＜t＜1，∴4t2﹣17t+4≥0，∴0＜t
，h（t）≥h（
）=
﹣2ln2，故所求的最小值为
﹣2ln2．

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.

22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图所示,锐角三角形ABC的内心为I,过点A作直线BI的垂线,垂足为H,点E为圆I与边CA的切点.

(1)求证A,I,H,E四点共圆;

(2)若∠C=50°,求∠IEH的度数.

22. 解析:(1)由圆I与AC相切于点E得IE⊥AC,结合HI⊥AH,得∠AEI=∠AHI=90°,所以A,I,H,E四点共圆.

(2)由(1)知A,I,H,E四点共圆,所以∠IEH=∠HAI.由题意知∠HIA=∠ABI+∠BAI=
∠ABC+
∠BAC=
(∠ABC+∠BAC)=
(180°-∠C)=90°-
∠C,结合IH⊥AH,得∠HAI=90°-∠HIA=90°-(90°-
∠C)=
∠C,所以∠IEH=
∠C.由∠C=50°得∠IEH=25°.

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

23. 解析：(1) 曲线
的普通方程为
，
,

则
的普通方程为
，则
的参数方程为：

代入
得
，
.

(2)
.

24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

（1）证明：证法一
，∴
，
，

∴
，
． ∴
，即
，

∴
，∴
，

即
，∴
．

证法二：要证
，

只需证

只需证

只需证
即
．

，∴
，
，∴
成立．

∴要证明的不等式成立．

（2）证明：要证
－
≥a＋
－2，

只需证
＋2≥a＋
＋
，

只需证a2＋
＋4＋4
≥a2＋
＋2＋2
＋2，

即证2
≥
，

只需证4
≥2
，

即证a2＋
≥2，此式显然成立． ∴原不等式成立．

24．选修4—5：不等式选讲（本小题满分10分）

已知x，y，z均为正数．求证：
．

【答案】详见解析；

【解析】

试题分析：两两组合，利用均值不等式证明；

试题解析：因为x，y，z都是为正数，所以
．

同理可得
，当且仅当x＝y＝z时，以上三式等号都成立．

将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得
．

考点：1.均值不等值；2.不等式的证明；

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