2016年南平市普通高中毕业班质量检查

文科数学试题

（满分：150分 考试时间：120分钟）

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

3．全部答案答在答题卡上，答在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的

(1) 集合
，
，则
=

（A）
（B）

（C）
（D）

(2) 已知复数
满足
（i为虚数单位），则
＝

（A）1-i （B）-i （C）-1+i （D）i

(3) 如图，在边长分别为
和
的矩形内有由函数
的图象和
轴围成的区域（阴影部分），李明同学用随机模拟的方法估算该区域的面积.若在矩形内每次随机产生
个点，并记录落在该区域内的点的个数. 经过多次试验，计算出落在该区域内点的个数平均值为
个，

若
的近似值为
，则该区域的面积约为

（A）3 （B）4

（C）5 （D）6

(4) 已知双曲线
（
＞0，
＞0）的离心率为2，

则渐近线方程为

（A）
（B）

（C）
（D）

(5) 某算法的程序框图如图所示，若输入的
的值分别

为90和24，则程序执行后的结果为

（A）
（B）

（C）
（D）

(6) 若x，y满足约束条件
则
的最小值为

（A）1 （B）－5 （C）3 （D）－1

(7) 设
是等差数列
的前n项和，若

（A）1 （B）－1 （C）2 （D）

(8) 如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的

正方形，且体积为
，则该几何体的俯视图可以是

（A） （B） （C） （D）

(9) 已知函数
的

部分图象如图所示，若
是以
为顶点，
为底边且长为4的等腰直角三角形，

则
=

（A）
（B）

（C）
（D）

(10) 己知三棱锥P—ABC，侧棱PA垂直底面ABC，PA＝4，底面是边长为
的正三角形，则三棱锥的外接球的表面积为

（A）14
（B）28
（C）12
（D）9

(11) 已知抛物线
，圆
，在抛物线
上任取一点
，

向圆
作两条切线
，切点分别为
，则
的最大值为

（A）
（B）
（C）
（D）

(12) 已知函数
＝
，其导函数记为
，

则
-
-
-
=

（A）2016 （B）0 （C）1 （D）2

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第（22）～第（24）题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

(13) 已知向量a
，b
，则向量a，b的夹角为 ．

(14) 若数列
的前n项和
，则
．

(15) 关于函数
有下列命题：

① 函数
的周期为
；

② 直线
是
图象的一条对称轴；

③ 点
是
图象的一个对称中心.

其中所有真命题的序号是 .

(16) 设定义在R上的奇函数
，其导函数为
，且
，若
时，

，则关于x的不等式
≥0的解集为________．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(17) （本小题满分12分）

已知向量m
，n
R，函数
m·n+2.

（Ⅰ）求函数
的最小正周期；

（Ⅱ）设锐角
内角A，B，C所对的边分别为
若

，求角
和边
的值．

分数区间

甲班频率

乙班频率





0.1

0.2





0.2

0.2





0.3

0.3





0.2

0.2





0.2

0.1



(18) （本小题满分12分）

某数学教师对所任教的两个班级各抽取20名学生进行测试，分数分布如右表：

（Ⅰ）若成绩120分以上（含120分）为优秀，求从乙班参加测试的90分以上（含90分）的同学中，随机任取2名同学，恰有1人为优秀的概率；

（Ⅱ）根据以上数据完成下面的
×
列联表：

在犯错概率小于0.1的前提下，你是否有足够的把握认为学生的数学成绩是否优秀与班级有关系？

优秀

不优秀

总计



甲班









乙班









总计




























≥



















，其中

(19) （本小题满分12分）

如图，己知三棱锥P-ABC，底面是边长为2的正三角形，平面PAB⊥平面ABC，PA=PB=
，D为BC中点.

（Ⅰ）求证：AB⊥PC；

（Ⅱ）求点B到平面PAD的距离.

(20) （本小题满分12分）

将圆
上各点的纵坐标变为原来的一半 (横坐标不变)，得到曲线C.

（Ⅰ）求曲线C的方程；

（Ⅱ）过点
的直线l与曲线C交于A，B两点，N为线段AB的中点，延长线段
交曲线C于点E.

求证：
的充要条件是
.

(21) （本小题满分12分）

已知函数
，
，其中
．

（Ⅰ）设两曲线
，
有公共点，且在该点处的切线相同，用
表示
，并求
的最大值；

（Ⅱ）设
，证明：若
≥1，则对任意
，

，
，有
．

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

(22)（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，已知
点在⊙
直径
的延长线上，
切⊙
于
点，
是
的平分线，交
于
点，交
于
点.

（Ⅰ）求
的度数；

（Ⅱ）若
，求
的值.

(23)（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，以原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线
，过定点
的直线
的参数方程为
，若直线
和曲线
相交于
两点．

（Ⅰ）求曲线
的直角坐标方程和直线
的普通方程；

（Ⅱ）证明：
成等比数列．

(24)（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数
，其中
为实常数．

（Ⅰ）若函数
的最小值为2，求
的值；

（Ⅱ）当
时，不等式
≥
恒成立，求
的取值范围．

2016年南平市普通高中毕业班质量检查

文科数学试题参考答案及评分标准

说明：

1、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.

2、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.

3、只给整数分数. 选择题和填空题不给中间分.

一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分．

（1）A （2）D （3）B （4）C （5）B （6）B

（7）A （8）C （9）A （10）B （11）D （12）D

二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分．

（13）
（14）63 （15）①③ （16）

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

（17）解：（I）
m·n+2＝
…………2分

…………4分

…………5分

的最小正周期
…………6分

（II）由（I）知
，解得
…………7分

　　　

…………9分

解法一：由余弦定理得

解得
…………10分

若
，则
<0　　

为钝角，这与
为锐角三角形不符，
…………11分

…………12分

解法二：由正弦定理得
，解得
…………10分

∵
是锐角,

∵

…………11分

，解得
…………12分

（18）解：（I）乙班参加测试的90分以上的同学有6人，记为A、B、C、D、E、F．

成绩优秀的记为A、B．

从这六名学生随机抽取两名的基本事件有：

{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，

{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}共15个……3分

设事件G表示恰有一位学生成绩优秀，符合要求的事件有{A，C}，{A，D}，

{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}共8个…………5分

所以
…………6分

（II）

优秀

不优秀

总计



甲班

4

16

20



乙班

2

18

20



总计

6

34

40





…………8分

…………10分

在犯错概率小于0.1的前提下，没有足够的把握说明学生的数学成绩是否优秀与班级有关系．…………12分

（19）（I）证明：取AB中点E，连接PE、CE，
PB=PA，
AB
PE

AC=BC，
AB
CE…………2分

又
PE
CE＝E，

AB
平面PEC…………4分

又
PC
平面PEC，
AB
PC…………6分

（II）解法一：

过E作EF⊥AD于F，连接PF，

∵平面PAB⊥平面ABC且PE⊥AB，

PE⊥平面ABC

PE⊥AD 又EF⊥AD PE
EF=E

AD⊥平面PEF

PF⊥AD

D为正三角形ABC边BC的中点，

AD⊥BC. 又EF⊥AD ∴EF∥BC
EF=
BD=
BC=

在
PAB中，AB=2，PB=PA=
，
PE=1

PF=
=

S
=
=
=
…………9分

设B到平面PAD的距离为
，
=
=
=

三棱锥P-ABD的体积
=
=
=
…………11分

=
，



=
…………12分

解法二：

∵平面PAB⊥平面ABC且PE⊥AB，
PE⊥平面ABC

三棱锥P-ABD的体积
=
=
=
…………8分

连接DE，则

在
PAB中， AB=2，PB=PA=
，
PE=1

在直角三角形PDE中,

取
的中点
，连接
，∵

S
=

=
=
…………11分

设B到平面PAD的距离为
，

=

=
=

=
，



=
…………12分

（20）解：（I）设点
, 点M的坐标为
，由题意可知
………2分

又
∴
.

所以点M的轨迹C的方程为
…………4分

（II）设点
,