西北师大附中2016届高三第五次诊断考试

数学（理科）

第Ⅰ卷

一.选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）

1. 已知R是实数集，
，则

A.
B.
C.
D.

2.“
”是“复数
为纯虚数”的

A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3.在等差数列
中，已知
是其前
项和，且
，则

A．
B．
C．
D．

4.给出下列四个命题：

；
；

；
.

其中真命题是

A.
，
B.
，
C.
，
D.
，

5.某几何体的三视图如图所示，则其侧面的直角三角形的个数为

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

6.已知图象不间断函数
是区间
上的单调函数，且在区间
上

存在零点.下图是用二分法求方程
近似解的程序框图，

判断框内可以填写的内容有如下四个选择：

①
②
③
④

其中能够正确求出近似解的是

A.②④ B.②③

C.①③ D.①④

7.已知过定点
的直线与抛物线
相交于
两点，若
是方程
的两个不相等实数根，则
的值是

A.
B.
C.2 D.-2

8.若函数
的图像关于直线
对称，且当
，

时，
，则

A.
B.
C.
D.

9.已知圆
，直线
，圆C上任意一点
到直线
的距离小于2的概率为

A．
B．
C．
D．

10.已知在△ABC中，AB = 1，BC = ，AC = 2，点O为△ABC的外心，若
，则有序实数对( s , t )为

A.
B.
C. （ ， ） D. ( ， )

11. 如图，
、
是双曲线
的左、右焦点，过
的直线
与双曲线的左右两支分别交于点
、
．若
为等边三角形，则双曲线的离心率为

A．
B．4 C．
D．

12.定义在
上的偶函数
的导函数为
，若对于任意的实数
，都有
恒成立，

则使得
成立的实数
的取值范围为

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上）

13. 已知实数x，y满足
，则目标函数
的最大值为 ．

14.已知
的展开式中有理项的个数为 .

15.已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，点P是线段A1C1上的动点，则四棱锥P-ABCD的外接球半径R的取值范围是 .

16 △ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，依次成等比数列，则
的取值范围 .

三、解答题（本大题包括6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本题满分12分）

已知首项为
的等比数列
是递减数列，其前
项和为
，且
，
，
成等差数列．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）若
，数列
的前n项和
，求满足不等式
≥
的最大
值．

18.（本小题满分12分）

已知三棱柱
中，∠BCA=90°，

,
在底面
上的射影恰为
的中点
.

（1）求证：
； （2）求
的余玄值.

19.（本小题满分12分）

某校在规划课程设置方案的调研中，随机抽取50名文科学生，

调查对选做题倾向得下表：

(Ⅰ)从表中三种选题倾向中，选择可直观判断“选题倾向与性别有关系”的两种，作为选题倾向变量的取值，分析有多大的把握认为“所选两种选题倾向与性别有关系”.（只需要做出其中的一种情况）

(Ⅱ)按照分层抽样的方法，从倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的学生中抽取8人进行问卷.

(ⅰ)分别求出抽取的8人中倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的人数；

(ⅱ)若从这8人中任选3人，记倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的人数的差为
，求
的分布列及数学期望
.

20.（本小题满分12分）

已知椭圆C：
的离心率为
，且点
在C上.

（1）求椭圆C的方程；

（2）直线l经过点
，且与椭圆C有两个交点A、B，是否存在直线l0：x = x0（其中x0 > 2），

使得A、B到l0的距离dA、dB满足
恒成立？若存在，求x0的值；若不存在，请说明理由。

21.（本小题满分12分）

已知函数
，曲线
在
处的切线方程为
.

（1）求a，b的值；（2）求函数
在
上的最大值；

（3）证明：当
时，
.

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，
是
的直径，
、
是
上的两点，
，过点
作
的切线
交
的延长线于点
，连接
交
于点
.

(Ⅰ) 求证：
；(Ⅱ) 若
，试求
的长.

23.（本小题满分10分）选修4 - 4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，直线
的方程是
，圆C的参数

方程是
（φ为参数）.以
为极点，
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求直线
和圆C的极坐标方程；

（2）射线
：
（其中
）与圆
交于
、
两点，与直线
交于点
，射线
：

与圆
交于
、
点，与直线
交于点
，求
的最大值.

24.（10分）选修4—5不等式选讲

已知函数

（1）当
时，求不等式
的解集；

（2）若对于任意非零实数
以及任意实数
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围.

座位号





西北师大附中2016届高三第五次诊断考试

数学（理科）答题卡

一、选择题（每小题5分，共60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案





























二、填空题（每小题5分，共20分）

13. . 14. .

15. . 16. .

三.解答题 (本大题共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)

17．（本小题满分12分）请在下列边框答题，超出边框区域的答案无效







18．（本小题满分12分）请在下列边框答题，超出边框区域的答案无效







19．（本小题满分12分）请在下列边框答题，超出边框区域的答案无效







20．（本小题满分12分）请在下列边框答题，超出边框区域的答案无效







21．（本小题满分12分）请在下列边框答题，超出边框区域的答案无效







选做题（本题满分10分，请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分）



22. （选作第22题用图）

23.

24.







、

西北师大附中2016届高三第五次诊断考试

数学（理科）参考答案

一、选择题（每小题5分，共60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

A

A

D

C

D

A

C

D

A

D

B



9. 解: 圆C：
，圆心
，半径
，因为圆心到直线的距离是3，所以圆上到直线距离小于2的点构成的弧所对弦的弦心距是1，设此弧所对圆心角为
，则
，所以
，

即
，
所对的弧长为
，所以所求概率为
，故选D．

12. 解：令
，则

当
时，
，
单调递减，又
是偶函数，

则
，即
是偶函数.

不等式
可变形为
，即
，

所以
，
，解得
或
，故选B.

二、填空题（每小题5分，共20分）

13. 9 . 14. 6 .

15.
. 16.
.

三、解答题（本大题包括6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本题满分12分）

已知首项为
的等比数列{an}是递减数列，其前n项和为Sn，且S1+a1，S2+a2，S3+a3成等差数列．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）若
，数列{bn}的前n项和Tn，求满足不等式
≥
的最大n值．

解：（I）设等比数列{an}的公比为q，由题知 a1= ，

又∵ S1+a1，S2+a2，S3+a3成等差数列，

∴ 2(S2+a2)=S1+a1+S3+a3，

变形得S2-S1+2a2=a1+S3-S2+a3，即得3a2=a1+2a3，

∴ q=+q2，解得q=1或q=