张掖市2015-2016年度高三第三次诊断考试

数学（理科）试卷

命题、初审:张掖二中 复审: 王凯（高台一中）

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.复数
的共轭复数对应的点在复平面内位于（ ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2.若α∈R,则“α=0”是“sin α

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

3.设
为等差数列
项和，若
，则该数列的首项
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

4. 某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的N ＝5，则输出i ＝（ ）

A.6 B.7 C.8 D.9

5．双曲线
的渐近线与圆
相切,则正实数a的值为 （ ）

A．
B.
C.
D.

6.在如图所示的正方形中随机投掷10 000 个点，

则落入阴影部分（曲线C 为正态分布N(－1,1)

的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）

A.1 193 B.1 359 C.2 718 D.3 413

7.已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（ ）

A．16
B．4
C．8
D．2

8．已知
，函数
在
上单调递增，则
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

9．在
中,
，
,点
在
上且满足
,则

等于( )

A．
B．
C．
D．

10.已知二次函数
的导数
，且
的值域为
，则
的最小值为（ ） A.3 B.
C.2 D.

11.已知椭圆
的左、右焦点分别为
，若椭圆上存在点P使
，则该椭圆的离心率的取值范围为（ ）

A.（0，
B.（
） C.（0，
） D.（
，1）

12.已知函数
与
图象上存在关于
轴对称的点，则
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．二项式
的展开式中常数项为 ．

14.若变量x,y满足约束条件
且z=5y-x的最大值为a,最小值为b,则a-b的值是 .

15.我们知道，在边长为
的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值
，类比上述结论，在棱长为
的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值，此定值为 .

16.设数列
满足
=2,
若[x]表示不超过x的最大整数，则
==

三、解答题：本大题共6小题, 共70分, 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）

设函数
．

（Ⅰ）若
，求
的单调递增区间；

（Ⅱ）在锐角
中，角
的对边分别为
，若
，求
面积的最大值．

18.（本小题满分12分）

某超市从2016年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，并按[ 0，10]，（10，20]，（20，30]，（30，40]，（40，50]分组，得到频率分布直方图如下：

假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立．

（Ⅰ）写出频率分布直方图（甲）中的
的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为
，
，试比较
与
的大小；（只需写出结论）；

（Ⅱ）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率；

（Ⅲ）设
表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率，求
的数学期望．

19.（本小题满分12分）

在直三棱柱
中，
，∠ACB=90°,Ｍ是
的中点，Ｎ是
的中点.

（Ⅰ）求证：MN∥平面
；

（Ⅱ）求点
到平面BMC的距离；

（Ⅲ）求二面角
的平面角的余弦值大小.

20.（本小题满分12分）

设抛物线C的方程为x2 =4y，M为直线l：y=－m(m>0)上任意一点，过点M作抛物线C的两条切线MA，MB，切点分别为A,B．

(Ⅰ)当M的坐标为（0，－l）时，求过M，A，B三点的圆的标准方程，并判断直线l与此圆的位置关系；

(Ⅱ)当m变化时，试探究直线l上是否存在点M，使MA ⊥MB?若存在，有几个这样的点，若不存在，请说明理由.

21．（本小题满分12分）

设函数
．

（Ⅰ）当
时，讨论
的单调性；

（Ⅱ）当
时，设
在
处取得最小值，求证：
．

.选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）

如图，
是圆
的直径，
是弦，
的平分线
交圆
于点
，
，交
的延长线于点
，
交
于点
．

[:.]

（Ⅰ）求证：
是圆
的切线；

（Ⅱ）若
，求
的值．

23．选修4－4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）

选做题：在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
（
是参数），以原点
为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
．

（Ⅰ）求曲线
的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；

（Ⅱ）若曲线
与曲线
交于
，
两点，求
的最大值和最小值．

24．选修4—5：不等式选讲（本小题满分10分）

已知函数
，
，且
的解集为
．

(Ⅰ) 求
的值；

(Ⅱ) 设a，b，c为正数，且a＋b＋4c＝m没，求＋＋的最大值．

高三数学（理科）答案

一、选择题(本大题共12题,每小题5分,共60分)

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

A

A

D

A

C

B

B

D

D

C

D

B



11.【解析】根据正弦定理得
，所以由
可得
，即
，所以
，又
，即
，因为
，(不等式两边不能取等号，否则分式中的分母为0，无意义)所以
，即
，所以
，即
，所以
，解得
，即
，选D.

12 B

法一由题意存在
满足
得

令
因为
在定义域内都是单调递增的

所以
在定义域内都是单调递增的，

又因为x趋近于
时函数h(x)<0且
在
上有解

当
时,当
趋近于
时,
趋近于
,所以符合题意.

当
时,

,

综上
,故选B.

【考点定位】指对数函数 方程 单调性

法二由题意存在
满足
得

即
，分别作出
的图像，利于图像数形结合可得

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 7 ； 14. 24 ； 15.
； 16. 2015.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（共6题，共70分）

17．（第1问6分，第2问6分）

解：（1）由题意可知，
，

由余弦定理
，可得：
，即
，且当
时等号成立，因此
，所以
面积的最大值为
．

18解：（Ⅰ）
； ………………2分

. ………………4分

（Ⅱ）设事件
：在未来的某一天里，甲种酸奶的销售量不高于20箱；

事件
：在未来的某一天里，乙种酸奶的销售量不高于20箱；

事件
：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱. 则

，
. …………6分

所以
. …………8分

（Ⅲ）由题意可知，
的可能取值为0，1，2，3. …………9分

，

，

，

.

所以
的分布列为

0

1

2

3





0.343

0.441

0.189

0.027



 …11分

所以
的数学期望
.

……12分

另解：由题意可知
.

所以
的数学期望
.

19.【答案】（Ⅰ）如图所示，取B1C1中点D，连结ND、A1D

∴DN∥BB1∥AA1

又DN＝

∴四边形A1MND为平行四边形。

∴MN∥A1 D 又 MN
平面A1B1C1 AD1
平面A1B1C1

∴MN∥平面
--------------------4分

(Ⅱ)因三棱柱
为直三棱柱， ∴C1 C ⊥BC，又∠ACB=90°∴BC⊥平面A1MC1

在平面ACC1 A1中，过C1作C1H⊥CM，又BC⊥C1H，故C1H为C1点到平面BMC的距离。在等腰三角形CMC1中，C1 C=2
,CM=C1M=
[:]

∴
.--------------------------8分

(Ⅲ)在平面ACC1A1上作CE⊥C1M交C1M于点E，A1C1于点F,

则CE为BE在平面ACC1A1上的射影，

∴BE⊥C1M, ∴∠BEF为二面角B-C1M-A的平面角,

在等腰三角形CMC1中，CE=C1H=
,∴tan∠BEC=

∴ cos∠BEC=
.

二面角
的平面角与∠BEC互补，所以二面角
的余弦值为
--------------------12分

法2：（Ⅰ）同上。如图所示建系，

（Ⅱ）可得，
,
,设
是平面BMC的法向量，C1点到平面BMC的距离h。

可求得一个法向量为
，
,

（Ⅲ）可知
是平面
的法向量，设
是

平面
的法向量，求得一个法向量

设
是为二面角
的平面角,则
，又因为二面角
的平面角是钝角，所以
。

20.【答案】解：（Ⅰ）当M的坐标为
时，

设过M点的切线方程为
，代入
，整理得
，①

令
，解得
，

代入方程①得
，故得
，
.

因为M到AB的中点(0，1)的距离为2，

从而过
三点的圆的标准方程为
．

易知此圆与直线l：y=-1相切. ………………………………………………………（6分）

（Ⅱ）设切点分别为
、
，直线l上的点为M
，

过抛物线上点
的切线方程为
，因为
，
，

从而过抛物线上点
的切线方程为
，又切线过点
，

所以得
，即
.[:.]

同理可得过点
的切线方程为
，………………………（8分）

因为
，
且
是方程
的两实根，

从而，

所以
，

当
，即
时，

直线
上任意一点M均有MA⊥MB，…………………………………………………（10分）

当
，即m≠1时，MA与MB不垂直.

综上所述，当m?=1时，直线
上存在无穷多个点M，使MA⊥MB，当m≠1时，直线l

上不存在满足条件的点M.……………………………………………………………（12分）

21试题解析：（Ⅰ）当
时，

因为
单调递增，
单调递增，所以
在
单调递增，

且
，因此当
时，
；当
时，

故
在
单调递减，在
单调递增………………4分

（Ⅱ）当
时，
，因为
单调递增，
单调递增，所以
在
单调递增．又
，…6分

当
满足
且
时，
，故
存在唯一零点，设零点为

当
时，
；当
时，
．故
在
单调递减，在
单调递增，所以当
时，
取得最小值，由条件可得
，
的最小值为
． ………8分

由于
，所以

设
………10分

则

令
，得
；令
，得

故
在
单调递增，
单调递减，

故
．…………12分

考点：1．含参函数的单调性；2．用导数知识研究函数零点问题．

22【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）连接
，易证得
，从而由已知条件垂直关系可证得
，进而使问题得证；（Ⅱ）过
作
于点
，连接
，求出
的值，通过
与
求出比值．

试题解析：（1）连接
，可得
，∴
，

又
，∴
，又
为半径，∴
是圆
的切线．

（Ⅱ）过
作
于点
，连接
，则有
，

，

设
，则
，∴
，

由
可得
，又由
，可得
．

考点：1．切线的性质；2、比例线段．

23.【答案】（Ⅰ）曲线
的直角坐标方程为
，其表示一个圆；（Ⅱ）最小值为
，最大值为
．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用
，
可将
的极坐标方程化为相应直角方程，即可求解；（Ⅱ）联立
，
的方程，将
表示为相应的函数关系式，从而求解．

试题解析：（1）对于曲线
有
，即
，因此曲线
的直角坐标方程为