天水一中2015-2016学年第二学期高三（2013级）第四次检测考试数学（文科）

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：（共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）.

1．设集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|y=lnx}，则A∩B=（ ）

A（0，3） B（0，2） C（0，1） D（1，2）

2.已知
为虚数单位，
，若
为纯虚数，则复数
的模等于（ ）

A．
B．
C．
D．

4.向量
均为非零向量，
，则
的夹角为（ ）

A．
B．
C．
D．

5.各项为正的等比数列
中，
与
的等比中项为
，则
的值 为（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1

6.已知实数
满足
，如果目标函数
的最小值为-1，则实数
（ ）

A．6 B．5 C． 4 D．3

7.一个几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．

8.如右图所示的程序框图，若输出的
，则判断框内应填入的条件是（ ）

A．
B．
C．
D．

9.定义在
上的偶函数
满足：
，在区间
与
上分别递增和递减，则不等式
的解集为（ ）

A．
B．

C．
D．

10.已知点
分别是双曲线
的左右焦点，过
的直线
与双曲线
的左、右两支分别交于
两点，若
，则双曲线的离心率为（ ） A．2 B．4 C．
D．

11.函数
的部分图象大致为（ ）

A．
B．
C．
D．

12.一矩形的一边在
轴上，另两个顶点在函数
的图像上，如图，则此矩形绕
轴旋转而成的几何体的体积的最大值是（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题：（本大题共四小题，每小题5分）

13．记集合
，构成的平面区域分别为M，N，现随机地向M中抛一粒豆子（大小忽略不计），则该豆子落入N中的概率为．_____.

14.已知
，则
的值是________．

15. 已知点
，抛物线
的焦点为
，射线
与抛物线
相交于点
，与其准线相交于点
，若
，则
的值等于________．

16.数列
的通项
，其前
项和为
，则
________．

三、解答题 （本题必作题5小题，共60分；选作题3小题，考生任作一题，共10分.）

17.（本小题满分12分）已知函数
．　

（1）当
时，求
的值域；

（2）若
的内角
的对边分别为
且
，求
的值．

18.（本小题满分12分）在某大学自主招生考试中，所有选报II类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分别为
五个等级．某考场考生的两科考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为
的考生有10人．

（1）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为
的人数；（2）若等级
分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；（3）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为
，以在至少一科成绩为
的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为
的概率．

19.（本小题满分12分）如图，四棱锥
，侧面
是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面
是
的菱形，
为
的中点．

（1）求证：
；

（2）求点
到平面
的距离

20. （本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系
中，已知
是椭
上的一点，从原点
向圆
作两条切线，分别交椭圆于点
．

（1）若
点在第一象限，且直线
互相垂直，求圆
的方程；

（2）若直线
的斜率存在，并记为
，求
的值；

21.（本小题满分12分）

已知函数
．

（1）若曲线
在
处的切线方程为
，求
的单调区间；

（2）若
时，
恒成立，求实数
的取值范围．

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一题目记分.

22. （本小题满分 10分）

已知
点在
直径
的延长线上，
切
于
点，
是
的平分线且交
于点
，交
于点
．

（1）求
的度数； （2）若
，求
的值．

23. （本小题满分10分）在平面直角坐标系中，直线
的参数方程为
（
为参数），在以直角坐标系的原点
为极点，
轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线
的极坐标方程为
．（1）求曲线
的直角坐标方程和直线
的普通方程；（2）若直线
与曲线
相交于
两点，求
的面积．

24. （本小题满分12分）设函数
．（1）若不等式
的解集为
，求实数
的值； （2）在（1）的条件下，若不等式
的解集非空，求实数
的取值范围．

数学文科参考答案

选择题1．A 2．C 3．D 4．B 5．B 6．B 7．B 8．C 9．D 10．C 11．B 12．A

二、填空题13.
． 14．
15．
16 ．15

17．解：（1）

，∴
，∴
．．．6分

（2）∵由题意可得
有，
，

化简可得：
∴由正弦定理可得：
，∵
，∴余弦定理可得：
，∵
∴
， 所以

18．解：（1）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为
的考生有10分，

所以该考场有
人　所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为
的人数
．．．．．4分

（2）该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为

（3）因为两科考试中，共有6人得分等级为
，又恰有两个的两科成绩等级均为
，所以还有2人只有一个科目得分为
．设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是
的同学，则在至少一科成绩等级为
的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为

1个，则
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

19．解：（1）：取
中点
，连结
，依题意可知
均为正三角形，所以
，又
平面
平面
，所以
平面
，又
平面
，所以
．　．．．．．．．．．．．5分

（2）点
到平面
的距离即点
到平面
的距离，由（1）可知
，又平面
平面
，平面
平面
，
平面
，所以
平面
，即
为三棱锥
的体高．在
中，
，在
中
，边
上的高
，所以
的面积
，设点
到平面
的距离为
，由
得，
，又
，，解得
，所以点
到平面
的距离为

20．解：（1）由圆
的方程知圆
的半径
，因为直线
互相垂直，且和圆
相切，所以
，即
①又点
在椭圆
上，所以
②

联立①②，解得
，所以，所求圆
的方程为
．　

（2）因为直线
和
都与圆
相切，所以
，
，化简得
，因为点
在椭圆
上，所以
，

即
，所以
．

21．（1） 由已知得
，则
，

而
，所以函数
在
处的切线方程为
．

则
，解得
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

那么
，由
，得
或
，因则
的单调递增区间为
与
；．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

由