2016届甘肃省天水市一中高三上学期期末考试

数学（理科）

本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．

第一卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合
，
，若
，则
为（ ）

A．
B．
C．
D．

2．设
是虚数单位，复数
，则
=（ ）

A．1 B．
C．
D．2

3．下列四个图各反映了两个变量的某种关系，其中可以看作具有较强线性相关关系的是（ ）

A．①③ B．①④ C．②③ D．①②

4．等比数列
中，
，则
（ ）

A．
B．
C．
或
D．

5．已知函数
，若
，则实数
（ ）

A．0 B．2 C．
D．0或2

6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 (　　)

A．3π B．4π C．2π＋4 D．3π＋4

7.若动圆与圆
相外切，且与直线x=2相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）

A ． y2+12x-12=0 B ． y2-12x+12=0 C ． y2+8x=0 D ． y2-8x=0

8．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）

A．4 B．9 C．7 D．5

9．已知
，
，若
，那么向量
的夹角等于（ ）

．

10．函数
的图象大致为（ ）

11.以双曲线

上一点
为圆心的圆与
轴恰相切于双曲线的一个焦点
,且与
轴交于
两点.若
为正三角形，则该双曲线的离心率为（ ）

A．4 B．
C．
D．

12．对于任意实数
，定义
，定义在
上的偶函数
满足
，且当
时，
，若方程
恰有两个根，则
的取值范围是（ ）

A．
B．

C．
D．

第二卷

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）

13．若
满足不等式组
，则
的最小值是__________．

14.
的展开式中
的系数为 .

15．已知数列
满足
, 则
．

16．在四面体
中，已知
.则四面体
的外接球的半径为__________.

三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤）

17．（本小题满分12分）在锐角
中,
分别是角
所对的边，且
．

（1）确定角
的大小；

（2）若
，且
的面积为
，求
的值．

18. （本小题满分12分） 袋中装有4个白棋子,3个黑棋子,从袋中随机地取出棋子,若取到一个白棋子得2分,取到一个黑棋子得1分,现从袋中任取4个棋子.

(1)求得分
的分布列；（2）求得分大于6的概率.

19．（本小题满分12分）直三棱柱
中，
，
分别是
的中点，
，
为棱
上的点．

（1）证明：
；

（2）证明：
；

（3）是否存在一点
，使得平面
与平面
所成锐二面角的余弦值为
？若存在，说明点
的位置，若不存在，说明理由．

20．（本小题满分12分）已知椭圆C的对称中心为原点
，焦点在x轴上，左右焦点分别为
和
，且|

|=2，点（1，
）在该椭圆上．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过
的直线
与椭圆C相交于A，B两点，若
A
B的面积为
，求以
为圆心且与直线
相切圆的方程．

21．(本小题满分12分) 已知函数
．

（1）函数
在区间
上是增函数还是减函数？证明你的结论；

（2）当
时，
恒成立，求整数
的最大值；

（3）试证明：
（
）．

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号（在答题卡上将你所选题号涂黑）．

22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图所示,锐角三角形ABC的内心为I,过点A作直线BI的垂线,垂足为H,点E为圆I与边CA的切点.

(1)求证A,I,H,E四点共圆;

(2)若∠C=50°,求∠IEH的度数.

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，以原点为极点，
轴为极轴建立极坐标系，曲线
的方程为
（
为参数），曲线
的极坐标方程为
,若曲线
与
相交于
、
两点．

(1)求
的值；

(2)求点
到
、
两点的距离之积．

24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

（1）已知实数
满足
，证明：
;

（2）已知a>0，求证：
－
≥a＋
－2.

2016届甘肃省天水市一中高三上学期期末考试

数学（理科）

命题: 张硕光 汪生武 审核：汪生武

本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．

第一卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1． D 2． B3．B4． C 5． D 6． D 7.
8． B 9．
10． D

11. D 12． A

第二卷

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）

13．
． 14．
15．

16．

三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤）

17．（本小题满分12分）

【答案】（1）
（2）

试题解析：（1）
，由正弦定理

由
是锐角三角形，

（2）

，

，将
代入得到
，

考点：1．正余弦定理解三角形；2．三角形面积公式

18. （本小题满分12分）

解：（1）袋中共7个棋子，以取到白棋子为标准，则取到白棋子的个数为1,2,3,4，对应的得分
为5,6,7,8.由题意知，取到的白棋子数服从参数为
的超几何分布，故得分也服从该超几何分布.

所以
的分布列为























（2）根据的分布列，可得到得分大于6的概率为

19．

试题解析：（1）证明：∵
，
，又∵
∴
⊥面
．又∵
面
，∴
，以
为原点建立如图所示的空间直角坐标系
，

则有
，设
且
，即
,则
，

∵
，所以
；

（2）结论：存在一点
，使得平面
与平面
所成锐二面角的余弦值为
，理由如下：

由题可知面
的法向量
，设面
的法向量为
，则
，∵
，∴
，即
，

令
，则
．∵平面
与平面
所成锐二面角的余弦值为
，

∴
，即
，解得
或
（舍），所以当
为
中点时满足要求．

20．（本小题满分12分）

【答案】 (1)
(2)

解析：（1）椭圆C的方程为

（2）①当直线
⊥x轴时，可得A（-1，-
），B（-1，
），
A
B的面积为3，不符合题意．

②当直线
与x轴不垂直时，设直线
的方程为y=k（x+1）．代入椭圆方程得：

，显然
＞0成立，设A
，B
，则

，
，可得|AB|=

又圆
的半径r=
，∴
A
B的面积=
|AB| r=
=
，化简得：17
+
-18=0，得k=±1，∴r =
，圆的方程为

21.【解析】（Ⅰ）由题

故
在区间
上是减函数;

（Ⅱ）当
时，
恒成立，即
在
上恒成立，取
，则
，

再取
则

故
在
上单调递增，

而
，

故
在
上存在唯一实数根
，

故
时，
时，

故
故

（3）由（2）知：

令
，

又

即：

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号（在答题卡上将你所选题号涂黑）.

22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

22. 解析:(1)由圆I与AC相切于点E得IE⊥AC,结合HI⊥AH,得∠AEI=∠AHI=90°,所以A,I,H,E四点共圆.

(2)由(1)知A,I,H,E四点共圆,所以∠IEH=∠HAI.由题意知∠HIA=∠ABI+∠BAI=
∠ABC+
∠BAC=
(∠ABC+∠BAC)=
(180°-∠C)=90°-
∠C,结合IH⊥AH,得∠HAI=90°-∠HIA=90°-(90°-
∠C)=
∠C,所以∠IEH=
∠C.由∠C=50°得∠IEH=25°.

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

解析：(1) 曲线
的普通方程为
，
,

则
的普通方程为
，则
的参数方程为：

代入
得
，
.

(2)
.

24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

（1）证明：证法一
，∴
，
，

∴
，
． ∴
，即
，

∴
，∴
，

即
，∴
．

证法二：要证
，

只需证

只需证

只需证
即
．

，∴
，
，∴
成立．

∴要证明的不等式成立．

（2）证明：要证
－
≥a＋
－2，

只需证
＋2≥a＋
＋
，

只需证a2＋
＋4＋4
≥a2＋
＋2＋2
＋2，

即证2
≥
，

只需证4
≥2
，

即证a2＋
≥2，此式显然成立． ∴原不等式成立．

24．选修4—5：不等式选讲（本小题满分10分）

已知x，y，z均为正数．求证：
．

【答案】详见解析；

【解析】

试题分析：两两组合，利用均值不等式证明；

试题解析：因为x，y，z都是为正数，所以
．

同理可得
，当且仅当x＝y＝z时，以上三式等号都成立．

将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得
．

考点：1.均值不等值；2.不等式的证明；

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