甘肃省天水市秦安一中2015—2016学年第一学期高三级期末考试

数学试题(理科普通班)

命题人：何立平 何亮亮 审题人：董德毅

(应届：甲3、甲4、甲6、A3、A4、A5、A6 往届：理补1—6）

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1、若集合
（
是虚数单位），
，则
等于 ( )

A、
B、
C、
D、

2、设命题
：
，则
为( )

A、
B、
C、
D、

3、为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表，根据下表可得回归直线方程
，其中
，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为( )

A．11.4万元 B．11.8万元

C．12.0万元 D．12.2万元

收入
(万元)

8.2

8.6

10.0

11.3

11.9



支出
(万元)

6.2

7.5

8.0

8.5

9.8





4、已知
的展开式中含
的项的系数为30，则
（ ）

A、
B、
C、6 D、—6

5.一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）

A、
B、
C、
D、

6、执行上图所示的程序框图，若输出K的值为8，则判断框图内可填入的条件是（　　）

A、s

B、s

C、s

D、s

7、若非零向量a，b满足|a|=
|b|，且（a-b）
（3a+2b），则a与b的夹角为（ ）

A、
B、
C、
D、

8、已知
满足约束条件
，若
的最大值为4，则
（ ）

A、3 B、—3 C、2 D、—2

9、若
,则
（ ）

A、
B、
C、
D、

10、已知直线l：x+ay-1=0（a
R）是圆C：
的对称轴.过点

A（-4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（　　）

A、2 B、
C、6 D、

11、设双曲线
的右焦点是F，左、右顶点分别是
,过F做
的垂线与双曲线交于B，C两点，若
,则双曲线的渐近线的斜率为（ ）

A、
B、
C、
D、

12、设函数
则满足
的
取值范围是（ ）

A、
B、
C、
D、

第Ⅱ卷

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）

13、在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示，若将运动员按成绩由好到差编为
号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间
上的运动员人数是 .

14、袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.

15、已知数列
是递增的等比数列，
，则数列
的前
项和等于___.

16、用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有_______个。

三、解答题:本大题共6小题，共计70分。解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤

17. (本小题满分10分)设
.

（Ⅰ）求
的单调区间；（Ⅱ）在锐角
中，角
的对边分别为
,若
,求
面积的最大值.

18. (本小题满分12分)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为

（Ⅰ）求频率分布图中
的值；

（Ⅱ）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；

（Ⅲ）从评分在
的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在
的概率.

19. (本小题满分12分)如图，三棱锥
中，
平面
分别为线段
上的点，且

（1）证明：
平面

（2）求二面角
的余弦值。

20．(本小题满分12分) 设数列
的前
项和
，且
成等差数列.（1）求数列
的通项公式；

（2）记数列
的前n项和
，求使得
成立的n的最小值.

21. (本小题满分12分)已知椭圆

（
）的半焦距为
，原点
到经过两点
，
的直线的距离为
．

（I）求椭圆
的离心率；

（II）如图，
是圆

的一条直径，若椭圆
经过
，
两点，求椭圆
的方程．

22.（本小题满分12分） 已知函数
．

（Ⅰ）求曲线
在点
处的切线方程；

（Ⅱ）求证：当
时，
；

甘肃省天水市秦安一中2015—2016学年第一学期高三级期末考试

数学试题(理科普通班)答案

命题人：何立平 何亮亮 审题人：董德毅

(应届：甲3、甲4、甲6、A3、A4、A5、A6 往届：理补1—6）

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1.C 2.C 3.B 4.D 5.B 6.D 7.A 8.C 9.A 10.C 11.D 12.D

填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）

13. 4 14.
15.
16. 120

三、解答题:本大题共6小题，共计70分。解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤

17. (本小题满分10分)解：（I）由题意知

由
可得

由
可得

所以函数
的单调递增区间是
；单调递减区间是

18. )解:（Ⅰ）因为
，所以

（Ⅱ）由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为
，

所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为
.[:.]

（Ⅲ）受访职工评分在[50,60)的有：50×0.006×10＝3（人），即为
;

受访职工评分在[40,50)的有： 50×0.004×40＝2（人），即为
.

从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是

又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种，即
，故所求的概率为
.

19. (本小题满分12分)

解：(1)证明：由PC
平面ABC，DE
平面ＡＢＣ，故PC
DE由CE＝２，CD=DE＝
得
ＣＤＥ为等腰直角三角形，故CD
DE

由PC
CD=C，DE垂直于平面PCD内两条相交直线，故DE
平面PCD

(2)解：以Ｃ为坐标原点，分别以
的方程为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则Ｃ(0,0,0,)，Ｐ(0,0,3)，B(0,3,0),Ｅ(0,2,0)，Ｄ(1,1,0)，

设平面
的法向量
，

从而法向量
，
的夹角的余弦值为
，

故所求二面角B-PD-C的余弦值为
.

20．解：（1）由已知
，有
，

即
.从而
.又因为
成等差数列，即
.所以
，解得
.

所以，数列
是首项为2，公比为2的等比数列.故
.

（2）由（1）得
.所以
.

由
，得
，即
.因为
，所以
.于是，使
成立的n的最小值为10.

21. (本小题满分12分)解：（I）过点
，
的直线方程为
，则原点
到直线的距离
，由
，得
，解得离心率
.

(II)解法一：由（I）知，椭圆
的方程为
. 依题意，圆心
是线段
的中点，且
.易知，
不与
轴垂直，设其直线方程为
，代入(1)得

设
则

由
，得
解得
.

从而
.

于是
.[:]

由
，得
，解得
.

故椭圆
的方程为
.

22.（本小题满分12分）

，

成立；

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