天水一中2015-2016学年第二学期高三（2013级）第四次检测考试数学（理科）

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：（共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.

1．设集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|y=lnx}，则A∩B=（ ）

A（0，3） B（0，2） C（0，1） D（1，2）

2.已知
为虚数单位，
，若
为纯虚数，则复数
的模等于（ ）

A．
B．
C．
D．

4.向量
均为非零向量，
，则
的夹角为（ ）

A．
B．
C．
D．

5.各项为正的等比数列
中，
与
的等比中项为
，则
的值 为（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1

6.已知实数
满足
，如果目标函数
的最小值为-1，则实数
（ ）

A．6 B．5 C．4 D．3

7.一个几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．

8.如右图所示的程序框图，若输出的
，则判断框内应填入的条件是（ ）

A．
B．
C．
D．

9.定义在
上的偶函数
满足：
，在区间
与
上分别递增和递减，则不等式
的解集为（ ）

A．
B．
C．
D．

10.已知点
分别是双曲线
的左右焦点，过
的直线
与双曲线
的左、右两支分别交于
两点，若
，则双曲线的离心率为（ ）

A．2 B．4 C．
D．

11.三棱锥
中，
平面
，
，则该三棱锥的外接球表面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

12.一矩形的一边在
轴上，另两个顶点在函数
的图像上，如图，则此矩形绕
轴旋转而成的几何体的体积的最大值是（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题：（本大题共四小题，每小题5分）

13．记集合
，构成的平面区域分别为M，N，现随机地向M中抛一粒豆子（大小忽略不计），则该豆子落入N中的概率为．_____.

14.已知
，则
的值是________．

15. 已知点
，抛物线
的焦点为
，射线
与抛物线
相交于点
，与其准线相交于点
，若
，则
的值等于________．

16.数列
的通项
，其前
项和为
，则
________．

三、解答题 （本题必作题5小题，共60分；选作题3小题，考生任作一题，共10分.）

17.（本小题满分12分）已知函数
．　

（1）当
时，求
的值域；

（2）若
的内角
的对边分别为
且满足
，求
的值．

18.（本小题满分12分）

自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”“生二孩能休多久产假”等成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：

产假安排（单位：周）

14

15

16

17

18



有生育意愿家庭数

4

8

16

20

26



（1）若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为14周与16周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？

（2）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．

①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；

②如果用
表示两种方案休假周数和．求随机变量
的分布及期望．

19．（满分12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°PA=PD=AD=2BC=2，CD=
，Q是AD的中点，M是棱PC上的点，且PM=3MC．

（Ⅰ）求证：平面PAD⊥底面ABCD；

（Ⅱ）求二面角M﹣BQ﹣C的大小．

20. （本小题满分12分）

如图，在平面直角坐标系
中，已知
是椭圆
上的一点，从原点
向圆
作两条切线，分别交椭圆于点
．

（1）若
点在第一象限，且直线
互相垂直，求圆
的方程；

（2）若直线
的斜率存在，并记为
，求
的值；

21.（本小题满分12分）

已知函数
．（1）求
在
上的最小值；

（2）若关于
的不等式
只有两个整数解，求实数
的取值范围．

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一题目记分.

22. （本小题满分 10分）

已知
点在
直径
的延长线上，
切
于
点，
是
的平分线且交
于点
，交
于点
．

（1）求
的度数；

（2）若
，求
的值．

23. （本小题满分10分）

在平面直角坐标系中，直线
的参数方程为
（
为参数），在以直角坐标系的原点
为极点，
轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线
的极坐标方程为
．

（1）求曲线
的直角坐标方程和直线
的普通方程；

（2）若直线
与曲线
相交于
两点，求
的面积．

24. （本小题满分10分）

设函数
．

（1）若不等式
的解集为
，求实数
的值；

（2）在（1）的条件下，若不等式
的解集非空，求实数
的取值范围．

数学理科参考答案

选择题1．A 2．C 3．D 4．B 5．B 6．B 7．B 8．C 9．D 10．C 11．D 12．A

二、填空题13.
． 14．
15．
16 ．470

17．解：（1）

，∴
，∴
．．．6分

（2）∵由题意可得
有，
，

化简可得：
∴由正弦定理可得：
，∵
，∴余弦定理可得：
，∵
∴
， 所以

18. 18．（1）由表中信息可知，当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率为
；

当产假为16周时某家庭有生育意愿的概率为
　．．．．2分

（2）①设“两种安排方案休假周数和不低于32周”为事件
，由已知从5种不同安排方案中，随机地抽取2种方案选 法共有
（种），其和不低于32周的选法有14、18、15、17、15、18、16、17、16、18、17、18，共6种，由古典概型概率计算公式得
． 6分

②由题知随机变量
的可能取值为29，30，31，32，33，34，35．

，
，

，

29

30

31

32

33

34

35





0.1

0.1

0.2

0.2

0.2

0.1

0.1




，．12分

19.（Ⅰ）证明：连结BQ，∵四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，AD=2BC，Q为AD的中点，

∴四边形ABDQ为平行四边形，又∵CD=
，∴QB=
，∵△PAD是边长为2的正三角形，Q是AD的中点，∴PQ⊥AD，PQ=
，在△PQB中，QB=
，PB=
，有PQ2+BQ2=PB2，∴PQ⊥BQ，∵AD∩BQ=Q，AD、BQ?平面ABCD，∴PQ⊥平面ABCD，又∵PQ?平面PAD，∴平面PAD⊥底面ABCD；（Ⅱ）解：由（I）可知能以Q为原点，分别以QA、QB、QP为x、y、z轴建立坐标系如图，则Q（0，0，0），B（0，
，0），∵BC=1，CD=
，Q是AD的中点，∴PQ=
=
=
，QC=
=
=2，

∴PC=
=
=
，又∵PM=3MC，∴M（﹣
，
，
），

∴
=（0，
，0），
=（﹣
，
，
），设平面MBQ的一个法向量为
=（x，y，z），

由
，即
，令z=
，得
=（1，0，
），

又
=（0，0，1）为平面BCQ的一个法向量，∴
=
=
，

∴二面角M﹣BQ﹣C为
．

20．（1）由圆
的方程知圆
的半径
，因为直线
互相垂直，且和圆
相切，所以
，即
①又点
在椭圆
上，所以
②

联立①②，解得
，所以，所求圆
的方程为
．　

（2）因为直线
和
都与圆
相切，所以
，
，化简得
，因为点
在椭圆
上，所以
，

即
，所以
．

21．解：（1）
，令
得
的递增区间为
；

令
得
的递减区间为
，．2分 ∵
，则

当
时，
在
上为增函数，
的最小值为
；．．．．．．．．．．．3分

当
时，