高三数学试卷（理科）

一、选择题（每小题5分，共12
5=60分）

1、集合M=｛x|
｝, N=｛
｝, 则 M
N = ( )

A.
B. {0} C{2}. D. {

2、若点
为圆
的弦
的中点，则弦
所在直线方程为（　）

．

．

．

．

3、已知奇函数
在
上单调递减，且
，则不等式
＞0的解集是 （ ）

A.
B.
C.
D.

4、已知
的值 （ ）

A．
B．－
C．－
D．

5、设
为曲线
：
上的点，且曲线
在点
处切线倾斜角的取值范围为
，则点
横坐标的取值范围为（ ）

A．
B．
C．
D．

6、已知点A（-1,1）、B（1,2）、C（-2,1）、D（3,4），则向量
在
方向上的投影为（ ）

A．
B．
C．
D．

7、若
为不等式组
表示的平面区域，则当
从－2连续变化到1时，动直线
扫过
中的那部分区域的面积为 ( )

A．
B．1 C．
D．5

8、设
，则直线
与圆
的位置关系为（ ）

A.相切 B.相交 C.相切或相离 D.相交或相切

9、设函数
=
的图象如下图所示，则a、b、c的大小关系是

A.a＞b＞c B.a＞c＞b C.b＞a＞c D.c＞a＞b

10、已知
是等比数列，
，
，则

A．
B．
C．
D．

11、如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）

A．

B．

C．

D．

12、已知椭圆
的右焦点为
,过点
的直线交

椭圆于
两点.若
的中点坐标为
,则
的方程为（　　）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（每小题5分，共4
5=20分）

13、已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为________．

14、
是分别经过A(1,1)，B(0,(1)两点的两条平行直线，当
间的距离最大时，直线
的方程是 ．

15、如图，一艘船上午9∶30在A处测得灯塔S在它的北偏东

30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10∶00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距
mile. 此船的航速是 n mile/h.

16、设等差数列
的前
项和为
，若
则
.

三、解答题（17题10分，其它各题12分，共70分）

17、（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos＝.

(Ⅰ)求
的值；

(Ⅱ)若

·
＝2，b＝2，求a和c的值．

18、（12分）已知数列
为等差数列，
，
，数列
的前
项和为
，且有
．

（Ⅰ）求
、
的通项公式

（Ⅱ）若
，
的前
项和为
，求
．

19、（12分）设函数
，其中常数
.

(Ⅰ)讨论
的单调性;

(Ⅱ)若当
时，
恒成立，求
的取值范围。

20、（12分）如图，四棱锥
中，
⊥底面
，
．底面
为梯形，
，
．
，点
在棱
上，且
．

（Ⅰ）求证：平面
⊥平面
；

（Ⅱ）求平面
和平面
所成锐二面角的余弦值．

21、（12分）已知椭圆
的离心率为
以原点为圆心，椭圆

的短半轴为半径的圆与直线
相切，过点P（4，0）且不垂直于x

轴直线
与椭圆C相交于A、B两点．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若B点在于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点。

22、（12分）已知函数
在
上为增函数，且
，
，
．

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）设
，若在
上至少存在一个
，使得
成立，求
的取值范围．

理科数学答案

一、选择题

1、C 2、B 3、D 4、C 5、A 6、D 7、C 8、C 9、B 10、C 11、A 12、D

二、填空题

13、
14、
15、32 16、9

三、解答题

17、解：(1)∵cos＝，

∴sin＝sin(－)＝，

∴cosB＝1－2sin2＝.

(2)由
·
＝2可得a·c·cosB＝2，又cosB＝，故ac＝6，

由b2＝a2＋c2－2accosB可得a2＋c2＝12，

∴(a－c)2＝0，故a＝c，∴a＝c＝.

18、（1）由
得：
，所以，

当
时，
，
，

当
时，
，两式相减得：
，

整理得：
，所以数列
是等比数列，首项
，公比
，

所以，
.

（2）
，

①

②

①—②得：

，

所以，
.

19、（1）

由
知，当
时，
，故
在区间
是增函数；

当
时，
，故
在区间
是减函数；

当
时，
，故
在区间
是增函数。

综上，当
时，
在区间
和
是增函数，在区间
是减函数。

（2）由（I）知，当
时，
在
或
处取得最小值。

由假设知
即
解得 1

故
的取值范围是（1，6）

20、（1）∵
底面
，∴
．又
，
，∴
⊥平面
．

又

平面
，∴平面
⊥平面
．

（2）以
为原点，
所在直线分别为
轴、
轴，如图建立空间直角坐标系．

设
，则
，
，
，
，
．

设
为平面
的一个法向量，则
，∴
，解得
，∴
．

设
为平面
的一个法向量，则
，

又
，
，∴
，解得
，∴
．
． ∴平面
和平面
所成锐二面角的余弦值为
．

21、(1)解：由题意知
，∴
，即

又
，∴
。故椭圆的方程为

(2)解：由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为
， 由
得：
4分由
得：
设A(x1，y1)，B (x2，y2)，则
　　①

∴

两点关于
轴对称，
，直线
的方程为

令
得：
,

又
，
，
，

将①代入得：
，
直线
与
轴交于定点
.

22、（1）由题意，
≥0在
上恒成立，即
．

∵θ∈（0，π），∴
．故
在
上恒成立，

只须
，即
，只有
．结合θ∈（0，π），得
．

（2）构造
，
．

当
时，
，
，
，所以在[1，e]上不存在一个
，使得
成立．

当
时，
．

因为
，所以
，
，所以
在
恒成立．

故
在
上单调递增，
，只要
，

解得
．

故
的取值范围是
．

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