西北师大附中2016届高三第五次诊断考试

数学（文科）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．已知
，集合
，集合
，若
，

则
( )

A．1 B．2 C．4 D．8

2．已知复数
满足
，则
的共轭复数为（ ）

3.双曲线

（
，
）的一条渐近线方程为
，则
的离心率是（ ）

A．
B．
C．
D．

4.我国明朝程大位《算法统宗》中用一首诗歌形式提出了的一个数列问题：远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增，共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？你算出塔顶有灯的盏数为

（ ）

A. 5 B. 4 C. 3 D. 2

5. 若变量
满足约束条件
，则目标函数
的最小值为( )

A.
B.
C.
D.

6. 下列说法中正确的是（ ）

A. “
”是“
”的必要条件

B.命题“对
，”的否定是“
”

C.
，使函数
是奇函数

D.设
是简单命题，若
是真命题，则
也是真命题.

7. 执行如图程序框图，如果输入
，那么输出的
的值为（ ）A.2 B.3 C.4 D.5

8.某空间几何体的三视图如图所示，

则该几何体的体积等于（ ）

A．
B．

C．
D．

9．将函数
的图象向左平移
个单位后得到的函数图象关于点
成中心对称，那么
的最小值为（ ）

A．
B．
C ．
D．

10.若直线

被圆
截得的弦长为4，则
的最小值为（ ）

A．
B．
C．
D．

11.在
中，角
的对边分别为
，且
，若
的面积为
，则
的最小值为( )

A. 4 B. 12 C. 16 D. 24

12. 已知函数
则方程
恰有两个不同的实根时，

实数
的取值范围是

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知函数
则
.

14. 若向量
的夹角为
，且
，则
与
的夹角为.

15. 已知正三棱柱
的所有棱长都等于6，且各顶点都在同一球面上，则此球的表面积等于____.

16. 已知函数
，若函数
在
上单调递减，则
的最小值为____.

三、解答题（每小题12分，共60分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）在等差数列
中，已知
，
.

（1）求通项
；

（2）若
，设数列
的前
项和为
，求

18.（本小题满分12分）

如图，四棱锥
中，底面
是边长为
的菱形，
.

面
，且
.
为
中点，
在棱
上，且
.

（Ⅰ）求证：
面
；

（Ⅱ）求三棱锥
的体积.

19. 近年来，我国许多省市雾霾天气频发，为增强市民的环境保护意识， 某市面向全市征召
名义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组织.现把该组织的成员按年龄分成5组：第1组
，第2组
，第3组
，第4组
， 第5组
，得到的频率分布直方图如图所示，已知第2组有35人.

（1）求该组织的人数.

（2）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加某社区的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？

在（2）的条件下，该组织决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第3组至少有一名志愿者被抽中的概率.

20．（本小题满分12分）已知椭圆C：
的离心率为
，右顶点
。

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点
的直线l交椭圆于B、D两点，设直线AB斜率为k1，直线AD斜率为k2。求证：k1k2为定值，并求此定值。

21．（本小题满分12分）已知函数

（1）若曲线
在点
处的切线与直线
垂直，求函数
的单调区间；

（2）若对于任意
，都有
成立，试求
的取值范围；

（3）记
).当
时，函数
在区间
上有两个零点，求实数
的取值范围.

22.[选做题]本大题包括22、23、24、三小题，请选定其中一题，若多做，则按作答的第一题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图,
是⊙
上的两点，
为⊙
外一点，连结
分别交⊙
于点
，且
，连结
并延长至
，使
.

(1) 求证：
;

(2) 若
，且
，求
.

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知在直角坐标系
中，直线
的参数方程为
，（
为参数），以坐标原点

为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为

（1）求直线
的普通方程和曲线
的直角坐标方程；

（2）设点
是曲线
上的一个动点，求它到直线
的距离
的取值范围.

24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知
，不等式
的解集为

（1）求集合
； （2）

西北师大附中2016届高三第五次诊断考试答题卡

数学（文科）

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案





























二、填空题

13. 14. 15. 16.

三、解答题（每小题12分，共60分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

18．（本小题满分12分）

19．（本小题满分12分）

20．（本小题满分12分）

21．（本小题满分12分）

22.[选做题] （本小题满分12分）本题包括22、23、24、三小题，请选定其中一题，若多做，则按作答的第一题评分。

西北师大附中2016届高三第五次诊断考试

数学（文科）参考答案

选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）

1-5 ACDCC 6-10 BBCAB 11-12 BD

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13.4 14.
15.
16.

解答题：本大题共5小题，每小题14分,共70分．

17.（1）解：由题意得：
解得

.

（2）解：因为
，所以
，

18.解：19.（Ⅰ）证明：如图所示，取
中点
，连接
.

连接
交
于
，连接
.…………………2分

由题可得
为
中点，
为
中点，∴
；

又
为
中点，
为
中点，∴
.…4分

又
，
面
；

，
面
；

∴面
面
.

∵
面
，∴
面
.…………6分

（Ⅱ）解：∵
面
，

∴
是三棱锥
的高，又
，……………………………………………………8分

∴
，同理
.………10分

∴
.……………………………………………12分

19.解:（1）由题意：第2组的人数： 35=
,得到：
，

故该组织有100人.

(2) 第3组的人数为0.3×100=30, 第4组的人数为0.2×100=20, 第

5组的人数为0.1×100=10.

因为第3,4,5组共有60名志愿者,所以利用分层抽样的方法在60

名志愿者中抽取6名志愿者,每组抽取的人数分别为:第3组:
×6=3; 第4组:
×6=2; 第5组:
×6=1.所以应从第3,4,5组中分别抽取3人,2人,1人. (3)记第3组的3名志愿者为A1,A2,A3,第4组的2名志愿者为B1,B2,第5组的1名志愿者为C1.则从6名志愿者中抽取2名志愿者有:

(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2),(A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),共有15种.

其中第3组的3名志愿者A1,A2,A3,至少有一名志愿者被抽中的有:

(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2),(A3,C1),共有12种, 则第3组至少有一名志愿者被抽中的概率为

20. 解:（1）由题意得
解得

所以
的方程为
.…………………………4分

（2）由题意知直线
斜率不为0，可设直线
方程为
，与
联立

得
，
设
，

则
………………………… 8分

．

为定值，定值为
…………………………12分

21.解：（1）直线y=x+2的斜率为1， 函数f(x)的定义域为

因为
，所以
，所以a=1

所以
由
解得x>2 ; 由
解得0

所以f(x)得单调增区间是
，单调减区间是

（2）

由
解得
由
解得

所以f(x)在区间
上单调递增，在区间
上单调递减

所以当
时，函数f(x)取得最小值

因为对于任意
成立，所以
即可

则
，由
解得
，所以a得取值范围是
（3）依题意得
，则

由
解得x>1，由
解得0

所以函数g(x)在区间
上有两个零点，

所以
解得
，所以b得取值范围是

选做题

解：（1）连结
，因为
，
，

又因为
，所以?
，所以
．由已知
，
，所以
，且
，所以
，所以
．(2) 因为
，
所以
∽
，则
，所以
又因为
，
，所以
，所以
．所以?

解析：（1）直线
的普通方程为：
；

曲线的直角坐标方程为

（2）设点

，则

24.解：（1）

（2）