准考证号 姓名

（在此卷上答题无效）

机密★启用前

2016年福建省普通高中毕业班质量检查

理科数学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页，满分

150分．

考生注意：

1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．

3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知
，
是虚数单位，若
与
互为共轭复数，则

（A）
（B）

（C）
（D）

（2）执行如图所示的程序框图，若要使输出的
的值等于3，

则输入的
的值可以是

（A）
（B）
（C）8 （D）

（3）已知
，
，则
的值等于

（A）
（B）
（C）
（D）

（4）已知
，则“
”是“
”的

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

（5）若
满足约束条件
则
的取值范围为

（A）
（B）

（C）
（D）

（6）已知等比数列
的各项均为正数且公比大于1，前
项积为
，且
，则使得
的
的最小值为

（A）4 （B）5 （C）6 （D）7

（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的各个面的面积中，最小的值为

（A）
（B）8 （C）
（D）

（8）在
中，
，
，
，
，则

（A）
（B）
（C）
（D）

（9）若椭圆上存在三点，使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为

（A）
（B）
（C）
（D）

（10）在三棱锥
中，
，
，
，
，
，则三棱锥
外接球的表面积为

（A）
（B）
（C）
（D）

（11）已知
分别为双曲线
的左、右焦点，若点
是以
为直径的圆与
右支的一个交点，
交
于另一点
，且
，则
的渐近线方程为

（A）
（B）
（C）
（D）

（12）已知
是定义在
上的减函数，其导函数
满足
，则下列结论正确的是

（A）对于任意
，
<0 （B）对于任意
，
>0

（C）当且仅当
，
<0 （D）当且仅当
，
>0

第Ⅱ卷

注意事项：

第Ⅱ卷共3页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）若随机变量
，且
，则
．

（14）若
展开式中的常数项为
，则
　　．

（15）若数列
的各项均为正数，前
项和为
，且
，则
．

（16）已知点
，且平行四边形
的四个顶点都在函数
的图象上，则四边形
的面积为 ．

三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）

在△
中，
，点
在边
上，
，且
．

（Ⅰ）若△
的面积为
，求
；

（Ⅱ）若
，求
．

（18）（本小题满分12分）

如图，三棱柱
中，底面
为等腰直角三角形，
，
，
．

（Ⅰ）证明：
；

（Ⅱ）若
，求
与平面
所成角的正弦值．

（19）（本小题满分12分）

甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪70元，每单抽成2元；乙公司无底薪， 40单以内(含40单)的部分每单抽成4元，超出40单的部分每单抽成6元．假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其100天的送餐单数，得到如下频数表：

（Ⅰ）现从甲公司记录的这100天中随机抽取两天，求这两天送餐单数都大于40的概率；

（Ⅱ）若将频率视为概率，回答以下问题：

（ⅰ）记乙公司送餐员日工资为
(单位：元), 求
的分布列和数学期望；

（ⅱ）小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由.

（20）（本小题满分12分）

已知抛物线
的焦点为
，过
且垂直于
轴的直线与抛物线
交于
两点，以

为圆心的圆过点
，且
．

（Ⅰ）求抛物线
和圆
的方程；

（Ⅱ）设
是圆
上的点，过点
且垂直于
的直线
交
于
两点，证明：
．

（21）（本小题满分12分）

已知函数
，
．曲线
与
在原点处的切线相同．

（Ⅰ）求
的单调区间；

（Ⅱ）若
时，
，求
的取值范围．

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。

（22）（本小题满分10分）选修
：几何证明选讲

如图，△
的两条中线
和
相交于点
，且
四点共圆．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）若
，求
．

（23）（本小题满分10分)选修
：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
（
为参数），在以原点为极点，
轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线
的极坐标方程为
.

（Ⅰ）求
的普通方程和
的倾斜角；

（Ⅱ）设点
，
和
交于
两点，求
．

（24）（本小题满分10分）选修
：不等式选讲

已知函数
.

（Ⅰ）求不等式
的解集
；

（Ⅱ）设
，证明：
．

2016年福建省普通高中毕业班质量检查

理科数学试题答案及评分参考

评分说明：

1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．

（1）B （2）C （3）D （4）A （5）B （6）C

（7）B （8）C （9）D （10）D （11）A （12）B

二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分．

（13）
（14）
（15）
（16）

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

（17）本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等．满分12分．

解法一：（Ⅰ）因为
, 即
， 2分

又因为
,
，所以
． 3分

在△
中,由余弦定理得，
, 5分

即
，解得
． 6分

（Ⅱ）在△
中，
，可设
，则
，

又
，由正弦定理，有
， 7分

所以
． 8分

在△
中,
，

由正弦定理得，
，即
， 10分

化简得
，

于是
． 11分

因为
，所以
，

所以
或
,

解得
，故
． 12分

解法二：（Ⅰ）同解法一．

（Ⅱ）因为
，

所以
．

取
中点
，连结
，

所以
． 7分

设
，因为
，所以
．

在
△
中，
． 8分

以下同解法一．

（18）本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．

解法一：（Ⅰ）连结
，在
中，
，

由余弦定理得，
，

∴
，…………………………………………1分

∴
，

∴
．………………………………………2分

又∵
为等腰直角三角形，且
，

∴
，

又∵
，

∴
平面
． 4分

又∵
平面