2016届甘肃重点中学协作体高三下学期适应性考试

数学（文理合卷）试题

【满分150分，考试时间为120分钟】

一、选择题(60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号)

1．已知集合
，集合
，则
等于

A．
B．
C．
D．

2．
是虚数单位，若

，则
的值是

A．
B．
C．
D．

3. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序．若输入
的值为1，则输出S的值为

A. 64 B. 73

C. 512 D. 585

4.已知等比数列
中，各项都是正数，且
成等差数列，则

A.
B.
C.
D.

5. 已知|
|＝1，|
|＝，且
，则向量
与向量
的夹角为

A.
B.
C.
D.

6. 某学校组织学生参加数学测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为

若低于60分的人数是15人,则该班的学生人数是

A．
B．
C．
D．

7.
是“函数
在区间
内单调递增”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

8.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是

A．
B．

C．
D．

9.将函数
的图像向左平移
个

单位长度后,所得到的图像关于y轴对称,则
的最小值是

A.
B.
C.
D.

10.已知
，则
等于

A．－5 B．5 C．90 D．180

11.设抛物线
的焦点为
，点
在
上，
，若以
为直径的圆过点
，则
的方程为

A．

B．

C．
D．

12.已知函数
与
的图象上存在关于
轴对称的点，则
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

二、填空题:（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）

13. 定积分
=

14. 已知
满足约束条件
，求
的最小值是

15. 若三棱锥P-ABC的最长的棱
，且各面均为直角三角形，则此三棱锥的外接球的体积是

16. 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，则S2 016＝______

三、解答题: （本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程。）

17.（本小题满分12分）
中,角
所对边分别是
,
,
,且
.

（1）求
的值; （2）若
,求
面积的最大值.

18. （本小题满分12分）心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学 （男30女20）， 给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表：（单位：人）

（1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？

（2）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5—7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6—8分钟，现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率．

（3）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、 乙两女生被抽到的人数为X， 求X的分布列及数学期望E（X） ．

附表及公式

19．（本小题满分12分）如图，三棱锥
中，
底面
，
，
，
为
的中点，点
在
上，且
.

（1）求证：
平面
；

（2）求直线
与平面
所成角的正弦值.

20. （本小题满分12分）已知椭圆C：
的离心率为
，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线
相切.

（1）求椭圆C的标准方程;

（2）已知点A,B为动直线
与椭圆C的两个交点,问:在
轴上是否存在定点E,使得
为定值?若存在,试求出点
的坐标和定值;若不存在,请说明理由.

21．（本小题满分12分）已知函数

（1）求曲线
在
处的切线方程;

（2）证明：
.

选做题: 请考生从第22、23、24三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分.做答时请写清题号。

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

已知

外接圆劣弧
上的点（不与点
、
重合），延长
至
, 延长
交
的延长线于
．

（1）求证：
；

（2）求证：
．

23.（本小题满分10分）选修4-4：极坐标系与参数方程

已知曲线
的参数方程为
(
为参数)，以直角坐标系原点为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线
的极坐标方程,并说明其表示什么轨迹.

（2）若直线的极坐标方程为
，求直线被曲线
截得的弦长.

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲。

已知函数
的解集为
．

（1）求
的值；

（2）若
，
成立，求实数
的取值范围．

 甘肃重点中学协作体高三下学期适应性考试

数学答案

1---5 ACBCB 6---10 BCDAD 11---12CB

13.
14.
15.
16.

17.解:

………6分

由余弦定理:

.∴
,

………8分

当且仅当
时
有最大值
，

………10分

∴
………12分

18.解：(Ⅰ)由表中数据得
的观测值
………2分

所以根据统计有
的把握认为视觉和空间能力与性别有关.）………3分

(Ⅱ)设甲、乙解答一道几何题的时间分别为
分钟，则基本事件满足的区域为
(如图所示)

设事件
为“乙比甲先做完此道题” 则满足的区域为
………5分

由几何概型
即乙比甲先解答完的概率为
.………7分

(Ⅲ)由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有
种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有
种；恰有一人被抽到有
种；两人都被抽到有
种

可能取值为
，
， ………8分

， ………9分

………10分

的分布列为： ………11分



1
















.

………12分

19.解答：（1）证明：∵
底面
，且
底面
， ∴
………1分

由
，可得
………………………2分

又

，∴
平面
………………3分

注意到
平面
， ∴
…………………4分

,
为
中点，∴
………………5分

，
平面
…………………………6分

（2）如图，以
为原点、
所在直线为
轴、
为
轴建立空间直角坐标系.

则
…………………………7分

. ………………8分

设平面
的法向量
.

由
得
，

即
……………（1）

……………（2）

取
，则
，
. …10分

，

,直线
与平面
所成角的正弦值
. ………12分

20.解答.(1)由
得
,即
① ………1分

又以原点O为圆心,椭圆C的长轴长为半径的圆为

且与直线
相切,

所以
代入①得c=2, ………2分

所以
.所以椭圆C的标准方程为
………4分

(2)由
得
………6分

设A(x1,y1)、B(x2,y2),所以
………8分

根据题意,假设x轴上存在定点E(m,0),

使得
为定值.

则

………9分

=
要使上式为定值,即与k无关,
, ………10分

得
. .………11分

此时,
,所以在x轴上存在定点E(
,0) 使得
为定值,且定值为
. ……12分

21.解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，

………2分

由题意可得f(1)＝2，f′(1)＝e，故曲线
在
处的切线方程为
; ………4分

(2)证明：由(1)知，f(x)＝exln x＋ex－1，

从而f(x)>1等价于xln x>xe－x－ .………6分

设函数g(x)＝xln x，

则g′(x)＝1＋ln x，

所以当x∈时，g′(x)<0；

当x∈时，g′(x)>0.

故g(x)在上单调递减，在上单调递增，从而g(x)在(0，＋∞)上的最小值为g＝－ .………8分

设函数h(x)＝xe－x－，则h′(x)＝e－x(1－x)．

所以当x∈(0，1)时，h′(x)>0；

当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0.

故h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而h(x)在(0，＋∞)上的最大值为h(1)＝－. ………10分

因为gmin(x)＝g＝h(1)＝hmax(x)，

所以当x>0时，g(x)>h(x)，即f(x)>1. ………12分

22.解：
证明：
、
、
、
四点共圆

．

且
,

,

．..........5分

由
得
,又
,

所以
与
相似,

，

又
,　　
，

根据割线定理得
，

． ..........10分

23.解：

∵曲线
的参数方程为
(α为参数)

∴曲线
的普通方程为

曲线
表示以
为圆心，
为半径的圆。

将
代入并化简得：

即曲线c的极坐标方程为
. ..........5分

∵直线的直角坐标方程为

∴圆心
到直线的距离为
∴弦长为
. ..........10分

24.解：

，所以
，

，
或
，又

的解集为
．

故
. ..........5分

等价于不等式
，

， .........8分

故
，则有
，即
，解得
或

即实数的取值范围
..........10分

甘肃重点中学协作体

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