2016年三明市普通高中毕业班质量检查

文科数学试题

（满分150分 考试时间120分钟）

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．

2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

3．全部答案答在答题卡上，答在本试卷上无效．

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若集合
,集合
,则

A．
B.
C.
D.

2．采用系统抽样方法从960人中，抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的32人中，做问卷C的人数为

A.7 B．9 C．10 D．15

3．如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体

的三视图，则该几何体的体积为

A．2 B．3

C．4 D．6

4．已知向量
，
，函数

，则
的最小正周期是

A．1 B．2

C．
D．

5．已知
，
是虚数单位，命题
：在复平面内，复数
对应的点位于第二象限；命题
：复数
的模等于2.若
是真命题，则实数
的值等于

A．
或1 B．
或
C．
D．

6．已知
，且
，则

A．
B.
C.
D.7

7．从装有3个白球、2个红球的袋中任取3个，则所取的3个球中至多有1个红球的概率是

A.
B.
C.
D.

8．已知直线
与圆
相交于
，
两点，点
和点
分别在圆
上运动，且位于直线
两侧，则四边形
面积的最大值为

A．
B．
C．
D．

9．执行如图所示的程序框图，若输出的
，则输入
的值可以是

A．
B．

C．
D．

10．已知曲线
与直线
有且仅有一个公共点，则实数
的

最大值是

A．-1 B．0

C．1 D．2

11．已知球
是某几何体的外接球，而该几何体是由一个侧棱长为
的正

四棱锥
与一个高为
的正四棱柱
拼接而成，

则球
的表面积为

A.
B.

C.
D.

12．已知函数
若
的两个零点分别为
，
，则

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22～24题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．已知实数
满足
则目标函数
的取值范围是 .

14．若关于
的方程
在区间
上有解，则实数
的取值范围是 .

15．已知双曲线
的左、右焦点分别为
，若在双曲线
的右支上存在一

点
满足
，且
，则双曲线
的离心率为 .

16．在钝角△
中，已知
,则
取得最小值时，角
等于 .

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

已知等比数列
的各项都为正数，其前
项和为
，且
，
．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设
，数列
的前
项和为
，求证：
．

18．（本小题满分12分）

某房地产公司的新建小区有A，B两种户型住宅，其中A户型住宅的每套面积为100平方米，B户型住宅的每套面积为80平方米．该公司准备从两种户型中各拿出10套试销售，下表是这20套住宅每平方米的销售价格（单位：万元/平方米）.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



A户型

0.7

1.3

1.1

1.4

1.1

0.9

0.8

0.8

1.3

0.9



B户型

1.2

1.6

2.3

1.8

1.4

2.1

1.4

1.2

1.7

1.3



（Ⅰ）根据上表数据，完成下列茎叶图，并分别求出 A，B两类户型住宅每平方米销售价格的中位数；

A户型



B户型





0.

1.

2.







（Ⅱ）若该公司决定：通过抽签方式进行试销售，抽签活动按A、B户型分成两组，购房者从中任选一组参与抽签（只有一次机会），并根据抽签结果和自己的购买力决定是否购买（仅当抽签结果超过购买力时，放弃购买）．现有某居民获得优先抽签权，且他的购买力最多为120万元，为了使其购房成功概率更大，请你向其推荐应当参加哪个户型的抽签活动，并为他估计此次购房的平均单价（单位：万元/平方米）.

19. （本小题满分12分）

如图，在四棱锥
中，底面
是正方形，侧面
底面
，
，
，
是线段
的中点，
．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求点
到平面
的距离．

20. （本小题满分12分）

已知两定点
，
，动点
满足
，线段
的垂直平分线与线段
相交于点
，设点
的轨迹为曲线
．

（Ⅰ）求曲线
的方程；

（Ⅱ）设动直线
与曲线
交于

两点，且
(其中
为坐标原点)，试问：是否存在定圆
，使得该圆恒与直线
相切？说明理由．

21．（本小题满分12分）

已知函数
（其中
为常数），且
是
的极值点．

（Ⅰ）设曲线
在
处的切线为
，求
与坐标轴围成的三角形的面积；

（Ⅱ）求证：
．

请考生在22，23，24三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分．做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，⊙
与⊙
相交于
两点，过点
作⊙
的切线交⊙
于点
，过点
作两圆的割线，分别交⊙
，⊙
于点
，
与
相交于点
．

（Ⅰ）求证:
∥
；

（Ⅱ）若
是⊙
的切线，且
，
，
，求
的长．

23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系
中，曲线
的参数方程为

为参数
，在以原点
为极点，
轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线
的极坐标方程为
．

（Ⅰ）求曲线
的极坐标方程和曲线
的直角坐标方程；

（Ⅱ）若射线
：

与曲线
，
的交点分别为
（
异于原点），当斜率
时，求
的取值范围．

24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

已知函数

.

（I）当
时，求
的解集；

（II）若
的解集包含集合
，求实数
的取值范围．

2016年三明市普通高中毕业班质量检查

文科数学参考答案及评分标准

一、选择题：

1.C 2.A 3. A 4.C 5.D 6. B 7. C 8.A 9.B 10.D 11. C 12.D

二、填空题：

13.
14.
15.
16.

三、解答题：

17. 解：（Ⅰ）设数列
的公比为
，由
，得
，

所以
， 因为数列
各项都为正数，所以
， ………………2分

所以
，又
,所以
， ………………4分

所以数列
的通项公式是
， ………………6分

（II）由（I）得
， ………8分

所以

， ……………10分

因为
， 所以
， ………………11分

又
，

所以
关于
单调递增 所以
，

综上所述：
． ………………12分

18．解：（Ⅰ）

A户型



B户型



 9 8 8 9 7

3 1 4 1 3

0.

1.

2.



2 6 8 4 4 2 7 3

3 1





………………3分

A户型住宅每平方米销售价格的中位数为
； ………………4分

B户型住宅每平方米销售价格的中位数为
． ………………5分

(II)若选择A户型抽签，限于总价120万元的购买力，每平方米的价格不得高于1.2万元，

因此，有能力购买其中的7套，所以成功购房的概率是
； ………………7分

若选择B户型抽签，同样限于总价120万元的购买力，则每平方米的价格不得高于1.5万元，

因此，有能力购买其中的5套，所以成功购房的概率