厦门外国语学校2016届高三适应性考试

数学（文科） 2016.5

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合
，
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

2.复数
(其中
为虚数单位)的共轭复数在复平面内对应的点所在象限为（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3.“
为真”是“
为假”的（ ）条件

A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要 D、既不充分也不必要

4．如图，四个边长为1的正方形排成一个大正方形，AB是大正方形

的一条边，Pi(i＝1，2，…，7)是小正方形的其余顶点，

则·(i＝1，2，…，7)的不同值的个数为(　　)

A．7 B．5 C．3 D．1

5．将函数y＝cosx＋sinx(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位

长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是(　　)

A. B. C. D.

6．在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，
，且满足
,则角
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

7.执行如图的程序框图，若程序运行中输出的一组数是
，则
的值为( )

A.
B.
C.
D.



8. 如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )

A．
B.
C.
D.

9．我国明朝著名数学家程大位在其名著《算法统宗》中记载了如下数学问题：“ 远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”. 诗中描述的这个宝塔古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，那么塔顶有（ ）盏灯.

A. 2 B. 3 C. 5 D． 6

10.设
,
分别为双曲线

的左,右焦点.若在双曲线右支上存在一点
,满足
,且
到直线
的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率为（ ）

A.
B.
C.
D.

11．在三棱锥
中，
，
中点为
，
，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）

A.
B.
C.
D.

12已知方程
有
个不同的实数根，则实数
的取值范围是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13某单位有
名职工，现采用系统抽样方法抽取
人做问卷调查，将
人按
，

…
随机编号，则抽取的21人中，编号落入区间
的人数为 .

14在
中，
，
是边
的中点，则
.

15不等式组
所表示的平面区域为
，若直线
与
有公共点，则实数
的取值范围是 .

16在
中，角
所对的边分别为
,
，则
.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17(本小题满分12分)

已知递增等差数列
的前
项和为
，
，且
成等比数列.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设
，求数列
的前
项和
.

18.（本题满分12分）

周立波主持的《壹周·立波秀》节目以其独特的视角和犀利的语言，给观众留下了深刻的印象．央视鸡年春晚组为了了解观众对《壹周·立波秀》节目的喜爱程度，随机调查了观看了该节目的140名观众，得到如下2×2的列联表：（单位：名）

男

女

总计



喜爱

40

60

100



不喜爱

20

20

40



总计

60

80

140



（Ⅰ）从这60名男观众中按对《壹周·立波秀》节目是否喜爱采取分层抽样，抽取一个容量为6的样本，问样本中喜爱与不喜爱的观众各有多少名？

（Ⅱ）根据以上列联表，问能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为观众性别与喜爱《壹周·立波秀》节目有关．（精确到0.001）

（Ⅲ）从（Ⅰ）中的6名男性观众中随机选取两名作跟踪调查，求选到的两名观众都喜爱《壹周·立波秀》节目的概率．

附：临界值表

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005





2.705

3.841

5.024

6.635

7.879



参考公式：
，
.

19.（本小题满分12分）

如图：将直角三角形
，绕直角边
旋转构成圆锥，四边形
是圆
的内接矩形，
是母线
的中点，
.

（I）求证：
面
；

（II）当
时，求点
到平面
的距离.

20已知定点
，定直线
，
是
上任意一点， 过
作
，线段
的垂直平分线交
于点
，设点
的轨迹为曲线
，将曲线
沿
轴向左平移
个单位，得到曲线
.

（Ⅰ）求曲线
的方程；

（Ⅱ）过原点互相垂直的两条直线与曲线
分别相交于
和
，

求
的最小值.

21(本小题满分12分)

已知函数
．

（Ⅰ）当
时，求
的单调区间和极值；

（Ⅱ）若
，且
，证明：
．

请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多图均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。

22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图所示，已知
与⊙
相切，
为切点，过点
的割线交圆于
两点，弦
，
相交于点
，
为
上一点，且
．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）若
，求
的长．

23（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程

在平面直角坐标系
中，直线
的参数方程为
（
为参数），直线
与曲线
：
交于
，
两点.

（Ⅰ）求
的长；

（Ⅱ）在以
为极点，
轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，设点
的极坐标为
，求点
到线段
中点
的距离.

24本小题满分10分）选修4—5: 不等式选讲.

（Ⅰ）设函数
.证明：
；

（Ⅱ）若实数
满足
,求证:
．

厦门外国语学校2016届高三适应性考试

数学（文科）参考答案 2016.5

（1）C （2）A （3）B （4）C （5）B （6）A

（7）B （8）C （9）B （10）B （11）C （12）A

（13）
； （14）
； （15）
； （16）
．

17（Ⅰ）设等差数列
的公差为
，因为
,

∴
∵
成等比数列,

∴
，即
解得
或
. 5分

∵等差数列
是递增数列，∴
，∴
. 7分

（Ⅱ）∵

8分

10分

∴


. 12分

18.解：（Ⅰ）抽样比为
，则样本中喜爱的观众有40×
=4名；不喜爱的观众有6﹣4=2名． …………………3分

（Ⅱ）假设：观众性别与喜爱《壹周·立波秀》节目无关，由已知数据可求得，

∴ 不能在犯错误的概率不超过0．025的前提下认为观众性别与喜爱《壹周·立波秀》节目有关． …………………………………………………………………………………… 8分

（Ⅲ）设喜爱《壹周·立波秀》节目的4名男性观众为a，b，c，d，

不喜爱《壹周·立波秀》节目的2名男性观众为1，2；

则基本事件分别为：（a，b），（a，c），（a，d），（a，1），（a，2），（b，c），（b，d），（b，1），（b， 2），（c，d），（c，1），（c，2），（d， 1），（d，2），（1，2）．

其中选到的两名观众都喜爱《壹周·立波秀》节目的事件有6个，

故其概率为P（A）=
…………… 12分

19.解：(Ⅰ)连接

,连接

.

因为四边形
是圆
的内接矩形，

∴

，且

的中点.

又∵

∴

又

∴
面
…………………………… 6分

（Ⅱ）设点
到平面
的距离为d，由题设，⊿PAC是边长为4的等边三角形

∴CM=
又∵AD=

∴⊿CDM≌⊿AMD

∴

又∵

∴由

得

=

∴d=

∴点
到平面
的距离为

． ………………………………………… 12分

20解答：（Ⅰ）线段
的垂直平分线交
于点
，所以
，由抛物线定义知，点
的轨迹是以
为焦点，直线
为准线的抛物线，所以曲线
的方程为
；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得曲线
的方程为
，所以曲线
的方程为
，

设直线
的方程为
，则直线
的方程为
，

设
，

由
，得
，所以

同理可得
，

所以
，等号当且仅当
即
时成立.

所以
的最小值为
.

21解：（Ⅰ）∵
. 1分

（i）当
时，
,

∴
的递增区间是
，无递减区间；无极值. 3分

（ii）当
时，由
得，
；由
得，
；

∴
的递减区间是
，递増区间是
，

的极小值为