成都七中2017届高三10月阶段性测试

理科数学

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2.已知
，则复数
（ ）

A．
B．
C．
D．

3.设曲线
及直线
所围成的封闭图形为区域
，不等式组
所确定的区域为
，在区域
内随机取一点，该点恰好在区域
的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

4. 若随机变量
服从正态分布
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．1

5. 已知函数
，在0处的导数为27，则
（ ）

A．-27 B．27 C．-3 D．3

6. 下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量
（吨）与相应的生产能耗
（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出
关于
的线性回归方程
，那么表中
的值为？（ ）

A．4 B．3.5 C．3 D．4.5

7.化简
（ ）

A．1 B．
C．
D．

8.已知在
中，
，
，
，
是
上的点，则
到
的距离的乘积的最大值为（ ）

A．3 B．2 C．
D．9

9.已知
的内角
所对的边分别为
，若
，
，则角
的度数为（ ）

A．
B．
C．
D．

10. 如果某射手每次射击击中目标的概率为0.74，每次射击的结果相互独立，那么他在10次射击中，最有可能击中目标儿几次（ ）

A．6 B．7 C．8 D．9

11.函数
的定义域为
，以下命题正确的是（ ）

①同一坐标系中，函数
与函数
的图象关于直线
对称；

②函数
的图象既关于点
成中心对称，对于任意
，又有
，则
的图象关于直线
对称；

③函数
对于任意
，满足关系式
，则函数
是奇函数.

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③

12.定义域为
的连续可导函数
，若满足以下两个条件：

①
的导函数
没有零点，②对
，都有
.

则关于
方程
有（ ）个解.

A．2 B．1 C．0 D．以上答案均不正确

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.已知
的二项式展开式中第4项和第8项的二项式系数相等，则
.

14.已知函数
，若
，则
的范围是 .

15.设
为平面上过点
的直线，
的斜率等可能的取
，用
表示坐标原点到
的距离，则随机变量
的数学期望
.

16.已知三次函数
，下列命题正确的是 .

①函数
关于原点
中心对称；

②以
，
两不同的点为切点作两条互相平行的切线，分别与
交于
两点，则这四个点的横坐标满足关系
；

③以
为切点，作切线与
图像交于点
，再以点
为切点作直线与
图像交于点
，再以点
作切点作直线与
图像交于点
，则
点横坐标为
；

④若
，函数
图像上存在四点
，使得以它们为顶点的四边形有且仅有一个正方形.

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. （本小题满分12分）

等差数列
的前
项和为
，已知
，
为整数，且
.

（1）求
的通项公式；

（2）设
，求数列
的前
项和
的最大值.

18. （本小题满分12分）

四棱锥
中，底面
为矩形，侧面
底面
，
，
，
.

（1）证明：
；

（2）设
与平面
所成的角为
，求二面角
的余弦值的大小.

19. （本小题满分12分）

调查表明，高三学生的幸福感与成绩，作业量，人际关系的满意度的指标有极强的相关性，现将这三项的满意度指标分别记为
，并对它们进行量化：0表示不满意，1表示基本满意，2表示满意．再用综合指标
的值评定高三学生的幸福感等级：若
，则幸福感为一级；若
，则幸福感为二级；若
，则幸福感为三级. 为了了解目前某高三学生群体的幸福感情况，研究人员随机采访了该群体的10名高三学生，得到如下结果：

（1）在这10名被采访者中任取两人，求这两人的成绩满意度指标
相同的概率；

（2）从幸福感等级是一级的被采访者中任取一人，其综合指标为
，从幸福感等级不是一级的被采访者中任取一人，其综合指标为
，记随机变量
，求
的分布列及其数学期望.

20. （本小题满分12分）

已知椭圆
的离心率为
，以
为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切.

（1）求椭圆
的标准方程；

（2）已知点
，和面内一点
，过点
任作直线
与椭圆
相交于
两点，设直线
的斜率分别为
，若
，试求
满足的关系式.

21. （本小题满分12分）

已知函数
.

（1）当
时，求函数
的最大值；

（2）函数
与
轴交于两点
且
，证明：
.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
（
为参数，
），在以坐标原点为极点，
轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线
.

（1）求曲线
的普通方程，并将
的方程化为极坐标方程；

（2）直线
的极坐标方程为
，其中
满足
，若曲线
与
的公共点都在
上，求
.

23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数
.

（1）当
时，求不等式
的解集；

（2）若
的图象与
轴围成的三角形面积大于6，求
的取值范围.

参考答案

一、选择题

ABCAD CDABC DA

二、填空题

13. 10 14.
15.
16.①②④

三、解答题

17.解：（1）由
，
为整数知，
，
的通项公式为
.

（2）
，于是

.

结合
的图象，以及定义域只能取正整数，所以
的时候取最大值
.

18.解：（1）取
中点
，连接
交
于点
.

∵
，∴
，

又平面
平面
，∴
平面
，

∴
.

（2）在面
内过
点作
的垂线，垂直为
.

∵
，
，∴
面
，∴
，

则
即为所求二面角的平面角.

，
，
，

，则
.

19.解：（1）设事件
这10名被采访者中任取两人，这两人的成绩满意度指标
相同

成绩满意度指标为0的有：1人

成绩满意度指标为1的有：7人

成绩满意度指标为2的有：2人

则
.

（2）统计结果，幸福感等级是一级的被采访者共6人，幸福感等级不是一级的被采访者共4名，随机变量
的所有可能取值为1,2,3,4,5

，
，
，过程略

.

20.解：（1）

（2）①当直线斜率不存在时，由
，解得
，不妨设
，
，

因为
，所以
，所以
的关系式为
.

②当直线的斜率存在时，设点
，设直线
，联立椭圆整理得：
，根系关系略，所以

所以
，所以
的关系式为
.

21.解：（1）当
时，
，求导得
，很据定义域，容易得到在
处取得最大值，