山西重点中学协作体2017届高三上学期第一次模考

数学试卷

注意事项：

1.本卷分第I卷和第II卷，满分150分，考试时间150分钟。

2.考生答题前注意答题要求（文理合卷），填写好自己的姓名、班级、考号等信息，条形码应贴在方框内，并将答案正确填写在答题卡上。

一、选择题：在每题所给的A、B、C、D四个选项中，只有一个选项最符合题意。

1、已知集合
，
，则
＝( )

A．
???B．
?????C．
?????D．

2、已知函数y=f（2x）+x是偶函数，且f（2）=1，则f（﹣2）=（　　）

A．2??? B．3??? C．4??? D．5

3、已知函数f（x）的定义域为
，且
为偶函数，则实数a的值是( )

?A．
?????? B．2???????? C．4??????? D．6

4、已知函数
若存在
，使得关于
的方程
有三个不相等的实数根，则实数
的取值范围是（? ???）

A.
??????? B.
???? ?C.
??? ??D.

5、若正四面体ABCD的棱长为1，则它的外接球体积为（　　）

A．
π??? B．
π? C．
π??? D．
π

6、两圆
与
的公共切线有(??? ?)

A．?1条???????? ????? B．2条??? ??? ? C．3条??????? ??? D．4条

7、在一次案件中，公民D谋杀致死。嫌疑犯A、B、C对簿公堂。嫌疑犯A说：“我没有去D家，我和C去了B家”；嫌疑犯B说：“C去了A家，也去了D家”；嫌疑犯C说：“我没去D家”。由此推断嫌疑最大的是（　　）

A.A B.B C.C D.A和C

8、函数
的图象大致为（? ?）

9、已知函数
满足
，且当
时，
，则
的大小关系是（? ?? ?）A．
????????????????? B．
???

C．
?????????????????? D．

10、《九章算术》是我国古代最具影响力的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问积及委米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（米堆形状为圆锥的四分之一状），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出米堆的米约有（? ???）斛.

A.14????????????? ?? B.22????????????? ??? C.36?? ?????? ??????D.66?

11、在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a2+c2-b2)tanB=
ac,则角B的值为（）

?A.?
???????? ? B.?
???????????? C.
或
???????? ? D.?
或

12、过椭圆
+y2=1的左焦点F作斜率为k（k≠0）的直线交椭圆于A，B两点，使得AB的中点M在直线x+2y=0上，则k的值为（　　）

A．1?? ? B．2??? C．﹣1? D．﹣2

二、填空题：每题5分，共20分.

13.设f是从集合A={1，2}到集合B={1，2，3，4}的映射，则满足f(1)+f(2)=4的所有映射的个数为 _____．

14.用二分法求函数y=f(x)在区间[2，4]上零点的近似解，经验证有f(2)?f(4)＜0．取区间的中点为x1=3，计算得f(2)?f(x1)＜0，则此时零点x0∈_____.(填区间)

16. 平面直角坐标系中，过原点O的直线l与曲线y=ex-1交于不同的A，B两点，分别过点A，B作y轴的平行线，与曲线y=lnx交于点C，D，则直线CD的斜率是_____．

三、解答题：70分，作答时应给出相关解题步骤、文字说明和公式过程。

17. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q，如图所示．（1）点D，B，F，E共面吗？（2）作出直线A1C与平面BDEF的交点R的位置；（3）点P，Q，R共线吗？

18. 为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：

是否需要志愿 性别

男

女



需要

40

30



不需要

160

270



（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人中，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由．

P（k2＞k）

0.0

0.010

0.001



k

3.841

6.635

10.828





19. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA=acosC．（1）求角C的大小；（2）求√3sinA-cos（B+π/4）的最大值，并求取得最大值时角A、B的大小．

20.

21. 设函数f(x)=2x3+ax2+bx+m的导函数为f′(x)，若函数y=f′(x)的图象关于直线对称，且f′(1)=0．(1)求实数a、b的值；(2)若函数f(x)恰有三个零点，求实数m的取值范围．

选做题：考生在22、23、24题中任选一大题作答。

22. 选修4-2：矩阵与变换若二阶矩阵M满足
．(Ⅰ)求二阶矩阵M；(Ⅱ)把矩阵M所对应的变换作用在曲线3x2+8xy+6y2=1上，求所得曲线的方程．

23. 选修4-3：极坐标与参数方程

已知圆锥曲线
是参数)和定点
，F1、F2是圆锥曲线的左、右焦点．(1)求经过点F2且垂直地于直线AF1的直线l的参数方程；(2)以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AF2的极坐标方程．

24. 选修4-5：不等式选讲

已知函数f(x)=|3x+5|。(I) 解不等式f(x)＜x+3；(II)关于的x不等式f(x)＜mx+3m的解集为?，求m的取值范围．

山西重点中学协作体9月质检

数学参考答案

1-12：A B B B A C B A B B D A

13.3；根据映射的定义及题中的条件，把满足条件的映射一一列举出来．满足条件的映射有：①f（1）=1，f（2）=3，②f（1）=3，f（2）=1，③f（1）=2，f（2）=2，共有3个，故答案为3．

14.（2,3）；利用函数的零点存在性定理，所以函数在（2，4）上有零点．取区间的中点x1=
=3，∵f（2）?f（x1）＜0，∴利用函数的零点存在性定理，函数在（2，3）上有零点．故答案为：（2，3）．

15.3; 由向量共线的坐标表示，建立三角方程，求得角的正切值，再利用同角三角函数的关系将
用正切表示出来，代入正切值求值．解：∵
，∴2sinx+cosx=0，∴tanx=-
．∴
=
=3．故答案为：3．

16.1; 设直线l的方程为y=kx（k＞0），A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＞0，x2＞0），则直线CD的斜率kCD=
，根据A、B为直线l与曲线y=ex-1交点可得kx1=
，
，两边取对数后代人斜率公式即可求得答案．解：设直线l的方程为y=kx（k＞0），A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＞0，x2＞0），则C（x1，lnx1），D（x2，lnx2），所以kx1=
?x1-1=lnkx1，
?x2-1=lnkx2，所以直线CD的斜率kCD=
=
=
=
=1，故答案为：1．

17. 解：（1）共面，证明：由于CC1和BF在同一平面内，且不平行，故必相交，设交点为O，则OC1=C1C，同理，直线DE与CC1也相交，设交点为O1，则O1C1=C1C，故O1与O重合，得DE与BF交于O，故D，B，F，E共面．（2）在正方体AC1中，连接PQ，∵Q∈A1C1，∴Q∈平面A1C1CA．又Q∈EF，∴Q∈平面BDEF，即Q是平面A1C1CA与平面BDEF的公共点，同理，P也是平面A1C1CA与平面BDEF的公共点．∴平面A1C1CA∩平面BDEF=PQ．又A1C∩平面BDEF=R，∴R∈A1C，∴R∈平面A1C1CA，R∈平面BDEF．∴R是A1C与PQ的交点．如图．（3）共线，证明：由（2）知，PQ=平面BDEG∩平面A1ACC1，R∈A1C，而A1C?平面A1ACC1，故R∈平面A1ACC1，同理，R∈平面BDEF，故R∈PQ，即P，Q，R三点共线．

18. 解：（1）∵调查的500位老年人中有40+30=70位需要志愿者提供帮助，∴该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估算值为=14%．（2）根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式，K2=9.967．∵9.967＞6.635，∴有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．（3）由（2）的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．

20.

21. 解：（1）由f（x）=2x3+ax2+bx+m，得：f'（x）=6x2+2ax+b则其对称轴为
，因为函数y=f′（x）的图象关于直线
对称，所以，
，所以a=3则f′（x）=6x2+6x+b，又由f'（1）=0可得，b=-12．（2）由（1）得：f（x）=2x3+3x2-12x+m所以，f′（x）=6x2+6x-12=6（x-1）（x+2）当x∈（-∞，-2）时，f′（x）＞0，x∈（-2，1）时，f′（x）＜0，x∈（1，+∝）时，f′（x）＞0．故函数f（x）在（-∞，-2），（1，+∞）上是增函数，在（-2，1）上是减函数，所以，函数f（x）的极大值为f（-2）=20+m，极小值为f（1）=m-7．而函数f（x）恰有三个零点，故必有